05/05/2015
El valor absoluto de un número se define como su distancia a cero en la recta numérica. Siempre es no negativo. Para un número real x, el valor absoluto se denota como | x| y se calcula como:
| x| = xsi x≥ 0
| x| = - xsi x< 0
Entender la gráfica de una función de valor absoluto es fundamental en el álgebra y el cálculo. La gráfica de y= | x| es una V con el vértice en el origen (0,0). La rama izquierda de la V se extiende sobre el eje x negativo, mientras que la rama derecha se extiende sobre el eje x positivo. Ambas ramas tienen una pendiente de 1 a la derecha y -1 a la izquierda.
Cómo graficar el valor absoluto de una función
Para graficar una función de valor absoluto, y= | f( x)|, se debe considerar el comportamiento de la función f( x).
- Identificar los puntos donde f(x) = 0: Estos puntos son cruciales porque marcan dónde la gráfica de | f ( x )| podría cambiar de dirección.
- Graficar y = f(x): Esto proporciona la base para la gráfica del valor absoluto.
- Reflejar la parte de la gráfica que está por debajo del eje x: Para las secciones de la gráfica de f ( x ) que están por debajo del eje x (donde f ( x ) < 0), se reflejan sobre el eje x . Es decir, se toma la parte negativa de la función y se multiplica por -1, obteniendo su simétrico respecto al eje x.
- Dejar la parte de la gráfica que está por encima del eje x sin cambios: Las partes de la gráfica de f ( x ) que están por encima o sobre el eje x (donde f ( x ) ≥ 0) permanecen iguales.
Ejemplo: Graficar y= | x- 2|.
x- 2 = 0 cuando x= Este es un punto clave.
La gráfica de y= x- 2 es una línea recta con pendiente 1 y corte en y= -
La parte de la línea que está a la izquierda de x= 2 (donde x- 2 < 0) se refleja sobre el eje x.
La parte de la línea que está a la derecha de x= 2 (donde x- 2 ≥ 0) permanece sin cambios.
El resultado es una V con el vértice en (2,0).
Transformaciones de la gráfica de valor absoluto
Las transformaciones como traslaciones, reflexiones y escalamientos afectan la gráfica de una función de valor absoluto de manera predecible. Consideremos la función general y= a| x- h| + k:
- 'a': Si | a | > 1, la gráfica se estira verticalmente; si 0 < | a | < 1, la gráfica se comprime verticalmente. Si a < 0, la gráfica se refleja sobre el eje x (se invierte).
- 'h': h representa una traslación horizontal. Si h > 0, la gráfica se desplaza h unidades a la derecha; si h < 0, la gráfica se desplaza | h | unidades a la izquierda.
- 'k': k representa una traslación vertical. Si k > 0, la gráfica se desplaza k unidades hacia arriba; si k < 0, la gráfica se desplaza | k | unidades hacia abajo.
Ejemplos adicionales
Ejemplo 1: y= 2| x+ 1| - Esta gráfica es una V estirada verticalmente por un factor de 2, desplazada 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.
Ejemplo 2: y= -| x- 4|. Esta gráfica es una V reflejada sobre el eje xy desplazada 4 unidades a la derecha.
Tabla comparativa de transformaciones
| Transformación | Efecto en la gráfica |
|---|---|
| y = | x | + k | Traslación vertical de k unidades |
| y = | x - h | | Traslación horizontal de h unidades |
| y = a | x | | Estiramiento o compresión vertical por un factor de | a | |
| y = -| x | | Reflexión sobre el eje x |
Consultas habituales sobre la gráfica de valor absoluto
¿Cómo se encuentra el vértice de la gráfica de una función de valor absoluto? El vértice de la gráfica de y= a| x- h| + kestá en el punto ( h, k).
¿Cómo se determina la pendiente de las ramas de la gráfica? La pendiente de las ramas es ± a.
¿Cómo se grafica una función de valor absoluto con una función cuadrática en su interior? Se sigue el mismo proceso: graficar la función cuadrática, reflejar la parte que está debajo del eje xy dejar la parte de arriba intacta.
¿Cómo se resuelven ecuaciones que involucran valor absoluto? Se deben considerar dos casos: uno donde la expresión dentro del valor absoluto es positiva y otro donde es negativa, resolviendo cada caso por separado.
¿Cómo se utilizan las gráficas de valor absoluto para resolver inecuaciones? Se identifica el intervalo donde la función es positiva o negativa, dependiendo de la inecuación.
Aplicaciones de las gráficas de valor absoluto
Las funciones de valor absoluto tienen diversas aplicaciones en diferentes campos, como:
- Matemáticas: resolución de ecuaciones e inecuaciones, cálculo de distancias.
- Física: modelado de fenómenos con magnitudes que siempre son positivas.
- Ingeniería: optimización de diseños, análisis de señales.
- Economía: modelado de costos, beneficios y otros indicadores.
Dominar la gráfica de una función de valor absoluto es esencial para comprender y resolver problemas en varias áreas de estudio. La práctica y la observación cuidadosa de las transformaciones permitirán una mejor comprensión y aplicación de este concepto.