27/10/2015
La distribución hipergeométrica es un concepto fundamental en estadística que describe la probabilidad de obtener un cierto número de éxitos en una muestra de tamaño fijo, extraída de una población finita sin reemplazo. A diferencia de la distribución binomial, donde el muestreo se realiza con reemplazo, en la hipergeométrica cada elemento seleccionado se elimina de la población, lo que altera la probabilidad de éxito en cada extracción.
- ¿Cuándo usar la distribución hipergeométrica?
- Diferencias entre la distribución hipergeométrica y la binomial
- Cálculo de probabilidades con la distribución hipergeométrica
- Media y Varianza de la Distribución Hipergeométrica
- Gráfica de la Distribución Hipergeométrica
- Aplicaciones de la gráfica de distribución hipergeométrica
- Consultas habituales sobre la distribución hipergeométrica
¿Cuándo usar la distribución hipergeométrica?
La distribución hipergeométrica es ideal en situaciones donde:
- Se tiene una población finita de tamaño N.
- Se selecciona una muestra de tamaño n sin reemplazo.
- Existen dos categorías mutuamente excluyentes (éxito y fracaso).
- Se conoce el número de éxitos K en la población.
Ejemplos comunes incluyen:
- Control de calidad: Inspección de un lote de productos para determinar la cantidad de defectuosos.
- Estudios de mercado: Encuesta de una muestra de personas para evaluar la preferencia por un producto.
- Selección de comités: Elección de un grupo de personas de una población con características específicas.
Diferencias entre la distribución hipergeométrica y la binomial
La principal diferencia radica en el muestreo: la distribución binomial asume muestreo con reemplazo, mientras que la hipergeométrica lo hace sin reemplazo. Esto implica que la probabilidad de éxito en cada extracción cambia en la distribución hipergeométrica, mientras que permanece constante en la distribución binomial. Cuando el tamaño de la población es mucho mayor que el tamaño de la muestra, la distribución hipergeométrica se aproxima a la distribución binomial.
| Característica | Distribución Hipergeométrica | Distribución Binomial |
|---|---|---|
| Muestreo | Sin reemplazo | Con reemplazo |
| Probabilidad de éxito | Variable | Constante |
| Tamaño de población | Finito | Infinito o muy grande |
| Aproximación | Binomial si N >> n | - |
Cálculo de probabilidades con la distribución hipergeométrica
La probabilidad de obtener exactamente x éxitos en una muestra de tamaño n, extraída de una población de tamaño N con K éxitos, se calcula mediante la siguiente fórmula:
P(X = x) = [ (K sobre x) (N - K sobre n - x) ] / (N sobre n)
Donde:
- (a sobre b) representa la combinación de a elementos tomados de b en b, calculada como a! / [b! (a-b)!]
- x es el número de éxitos en la muestra.
- n es el tamaño de la muestra.
- N es el tamaño de la población.
- K es el número de éxitos en la población.
Ejemplo: Supongamos una urna con 10 bolas, 4 rojas y 6 azules. Si extraemos 3 bolas sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 bolas rojas?
En este caso: N = 10, K = 4, n = 3, x =
P(X = 2) = [ (4 sobre 2) (6 sobre 1) ] / (10 sobre 3) = (6 6) / 120 = 0.3
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 2 bolas rojas es del 30%.
Media y Varianza de la Distribución Hipergeométrica
La media (valor esperado) de una distribución hipergeométrica se calcula como:
μ = n (K / N)
La varianza, que mide la dispersión de los datos alrededor de la media, se calcula como:
σ² = n (K / N) [(N - K) / N] [(N - n) / (N - 1)]
Gráfica de la Distribución Hipergeométrica
La representación gráfica de una distribución hipergeométrica es una función de masa de probabilidad que muestra la probabilidad de cada posible valor de x (número de éxitos). La forma de la gráfica dependerá de los valores de N, K y n. Generalmente, se observa una forma unimodal (con un solo pico) cuando la probabilidad de éxito es intermedia, y puede ser asimétrica si la probabilidad de éxito es muy alta o muy baja.
Aplicaciones de la gráfica de distribución hipergeométrica
La gráfica de distribución hipergeométrica es una herramienta visual que facilita la comprensión de la probabilidad asociada a diferentes resultados. Su utilidad se extiende a diversos campos:
- Control de calidad: Permite visualizar la probabilidad de encontrar un número determinado de productos defectuosos en una muestra.
- Análisis de riesgos: Ayuda a evaluar la probabilidad de ocurrencia de eventos adversos en una población.
- Estudios de mercado: Facilita la interpretación de los resultados de encuestas y la estimación de parámetros de interés.
- Genética: Se utiliza en el análisis de poblaciones genéticas para determinar la frecuencia de alelos.
Consultas habituales sobre la distribución hipergeométrica
Algunas consultas habituales sobre la distribución hipergeométrica incluyen:
- ¿Cómo se calcula la probabilidad acumulada?
- ¿Cuál es la diferencia entre la distribución hipergeométrica y la distribución binomial negativa ?
- ¿Qué software se puede utilizar para realizar cálculos con la distribución hipergeométrica ?
- ¿Cómo se interpreta la gráfica de distribución hipergeométrica en el contexto de un problema específico?
Entender la distribución hipergeométrica y su representación gráfica es esencial para el análisis de datos en diversas áreas. Su capacidad para modelar situaciones de muestreo sin reemplazo la convierte en una herramienta poderosa en estadística aplicada.