30/10/2017
La notación de intervalos es una herramienta fundamental en matemáticas para representar conjuntos de números que se encuentran entre dos valores, o que se extienden infinitamente. Su uso facilita la comprensión y la manipulación de desigualdades y soluciones de ecuaciones. En esta tutorial, exploraremos en detalle la notación de intervalos, su representación gráfica y cómo se aplica en diferentes contextos.
¿Qué es la notación de intervalos?
La notación de intervalos proporciona una forma concisa de expresar conjuntos de números reales. Utiliza corchetes y paréntesis para indicar si los extremos del intervalo están incluidos o excluidos. Un intervalo se define por dos números, llamados extremos o límites, que indican el menor y el mayor valor del conjunto.
Tipos de intervalos
Existen diferentes tipos de intervalos, dependiendo de si los extremos están incluidos o no:
- Intervalo cerrado: Incluye ambos extremos. Se representa con corchetes cuadrados [ ]. Ejemplo: [2, 5] representa el conjunto de números entre 2 y 5, incluyendo el 2 y el
- Intervalo abierto: Excluye ambos extremos. Se representa con paréntesis (). Ejemplo: (2, 5) representa el conjunto de números entre 2 y 5, sin incluir el 2 ni el
- Intervalo semiabierto o semicerrado: Incluye un extremo e incluye el otro. Se representa con una combinación de corchetes y paréntesis. Ejemplo: [2, 5) representa los números entre 2 y 5, incluyendo el 2 pero excluyendo el 5; (2, 5] representa los números entre 2 y 5, excluyendo el 2 pero incluyendo el
- Intervalos infinitos: Cuando el intervalo no tiene límite superior o inferior, se utiliza el símbolo infinito (∞) siempre acompañado de un paréntesis. Ejemplo: (-∞, 5] representa todos los números menores o iguales a 5; [2, ∞) representa todos los números mayores o iguales a
Representación gráfica de intervalos
Los intervalos se representan gráficamente en una recta numérica. Los puntos que representan los extremos del intervalo se marcan con un círculo:
- Círculo cerrado (●): Indica que el extremo está incluido en el intervalo (corchete cuadrado).
- Círculo abierto (○): Indica que el extremo está excluido del intervalo (paréntesis).
El intervalo se representa sombreando la región de la recta numérica entre los dos extremos, incluyendo o excluyendo los extremos según corresponda.
Escritura de la notación de intervalos
La escritura de la notación de intervalos sigue una estructura simple: se escriben los dos extremos del intervalo, separados por una coma, y se utilizan corchetes o paréntesis para indicar si los extremos están incluidos o excluidos.
Ejemplos
| Inecuación | Intervalo | Representación gráfica |
|---|---|---|
| 2 ≤ x ≤ 5 | [2, 5] | ●---● |
| -1 < x < 4 | (-1, 4) | ○---○ |
| -3 ≤ x < 5 | [-3, 5) | ●---○ |
| x ≤ 7 | (-∞, 7] | ---● |
| x > 2 | (2, ∞) | ○--- |
Intervalos y Operaciones con Conjuntos
La notación de intervalos permite representar las operaciones entre conjuntos, tales como la unión e intersección.
Unión (∪)
La unión de dos intervalos es el conjunto que contiene todos los elementos de ambos intervalos. Se representa con el símbolo ∪.
Intersección (∩)
La intersección de dos intervalos es el conjunto que contiene solo los elementos que pertenecen a ambos intervalos. Se representa con el símbolo ∩.
Ejemplos de unión e intersección
Consideremos los intervalos A = [1, 4] y B = (3, 6):
- Unión: A ∪ B = [1, 6)
- Intersección: A ∩ B = (3, 4]
La representación gráfica de la unión muestra la combinación de ambos intervalos, mientras que la intersección muestra solo la zona común a ambos.
Aplicaciones de la notación de intervalos
La notación de intervalos tiene diversas aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas:
- Solución de inecuaciones: Se utiliza para expresar el conjunto solución de una inecuación.
- Dominio y rango de funciones: Se utiliza para especificar el dominio y rango de una función.
- Cálculo: Es fundamental en el estudio de límites, derivadas e integrales.
- Estadística: Se utiliza para representar intervalos de confianza.
Consultas habituales sobre notación de intervalos
Aquí se responden algunas de las preguntas más frecuentes sobre la notación de intervalos :
- ¿Cómo se representa un intervalo vacío? Se representa con el símbolo ∅ o {}.
- ¿Qué sucede cuando los intervalos se superponen? En ese caso, la unión de los intervalos será un intervalo más grande que engloba a ambos, y la intersección será el intervalo donde se superponen.
- ¿Cómo se manejan los intervalos con infinito? El infinito (∞) siempre se escribe con un paréntesis, ya que no es un número que pueda incluirse en el intervalo.
La notación de intervalos es una herramienta esencial para representar conjuntos numéricos y facilita la comprensión y manipulación de desigualdades y soluciones matemáticas. Dominar su uso es fundamental para el progreso en el estudio de las matemáticas.