30/12/2017
Los números naturales, representados por el conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}, son la base de la aritmética y se utilizan para contar y ordenar. Se caracterizan por ser infinitos y estar ordenados, permitiendo comparaciones como 7 > 2 (7 es mayor que 2) o 2 < 7 (2 es menor que 7).
Representación gráfica en la recta numérica
Una forma fundamental de representar los números naturales es mediante la recta numérica. Se selecciona un punto como origen (0), y a partir de él, se marcan puntos equidistantes hacia la derecha, representando sucesivamente los números naturales 1, 2, 3, y así hasta el infinito. Esta representación visual facilita la comprensión del orden y la magnitud de los números.
Suma de números naturales
La suma es una operación básica con números naturales. Se representa como a + b = c, donde 'a' y 'b' son los sumandos y 'c' es la suma o resultado. La suma de números naturales siempre resulta en otro número natural ( propiedad de clausura ). Otras propiedades importantes son:
- Conmutativa: a + b = b + a
- Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
- Elemento neutro: a + 0 = a
Resta de números naturales
La resta, representada como a - b = c, donde 'a' es el minuendo, 'b' el sustraendo y 'c' la diferencia, no siempre resulta en un número natural. Si el sustraendo es mayor que el minuendo, el resultado es un número negativo, que no pertenece al conjunto de los números naturales. Por lo tanto, la resta no cumple la propiedad de clausura en el conjunto N.
Multiplicación de números naturales
La multiplicación, representada como a · b = c, donde 'a' y 'b' son los factores y 'c' el producto, cumple la propiedad de clausura en los números naturales: el producto de dos números naturales es siempre otro número natural. Además:
- Conmutativa: a · b = b · a
- Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
- Elemento neutro: a · 1 = a
- Distributiva respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c
División de números naturales
La división, representada como D : d = c, donde 'D' es el dividendo, 'd' el divisor y 'c' el cociente, no siempre resulta en un número natural. Si la división no es exacta, se obtiene un cociente con parte decimal o un resto. En la división entre números naturales:
- División exacta: D = d · c
- División entera: D = d · c + r (donde 'r' es el resto)
La división no cumple la propiedad de clausura en N y tampoco es conmutativa. Además, no se puede dividir por cero.
Prioridades en las operaciones
Al realizar operaciones combinadas con números naturales, se siguen las siguientes prioridades:
- Paréntesis: las operaciones dentro de los paréntesis se realizan primero.
- Potencias y raíces: se calculan antes que las multiplicaciones y divisiones.
- Multiplicaciones y divisiones: se realizan de izquierda a derecha.
- Sumas y restas: se realizan de izquierda a derecha.
Ejemplos de representación gráfica
Consideremos la representación gráfica de la suma 2 + 3 = En la recta numérica, comenzamos en el punto 2 y avanzamos 3 unidades hacia la derecha, llegando al punto
Para la multiplicación 2 x 3 = 6, podemos representarlo como la suma repetida: 2 + 2 + 2 = 6, o visualmente como un rectángulo de 2 unidades de ancho y 3 unidades de largo, cuya área es 6 unidades cuadradas.
Aplicaciones de la representación gráfica
La representación gráfica de los números naturales es fundamental en diversas áreas:
- Educación matemática: facilita la comprensión de conceptos aritméticos básicos.
- Estadística: se usa en gráficos de barras, diagramas de puntos, etc.
- Programación: se utiliza en algoritmos y estructuras de datos.
Tabla comparativa de operaciones
| Operación | Símbolo | Propiedad de Clausura | Conmutativa | Asociativa | Elemento Neutro |
|---|---|---|---|---|---|
| Suma | + | Sí | Sí | Sí | 0 |
| Resta | - | No | No | No | - |
| Multiplicación | · | Sí | Sí | Sí | 1 |
| División | / | No | No | No | - |
La representación gráfica de los números naturales, especialmente en la recta numérica, es una herramienta esencial para comprender sus propiedades y las operaciones aritméticas básicas. Su aplicación se extiende a diversos campos, desde la educación hasta la programación.