Función homográfica: gráfica y características

Las funciones homográficas, también conocidas como funciones racionales de primer grado, son un tipo específico de función que presenta una estructura particular y un comportamiento gráfico característico. Su comprensión es fundamental en el álgebra y el cálculo, ya que se aplican en diversos campos, desde la física y la ingeniería hasta la economía y la biología. Este artículo profundiza en la gráfica de una función homográfica, explicando sus propiedades, así como la forma de obtenerla a partir de su ecuación.

Definición de Función Homográfica

Una función homográfica se define como una función de la forma:

f(x) = (ax + b) / (cx + d)

donde a, b, c y d son constantes, y c y d no son simultáneamente cero (si c y d fueran cero la función sería lineal, no homográfica).

La característica distintiva de estas funciones es la presencia de una variable x tanto en el numerador como en el denominador. Esta característica es la que determina su comportamiento gráfico y sus asíntotas.

Asíntotas de una Función Homográfica

Las asíntotas son rectas a las que se acerca la gráfica de la función, pero nunca las toca. En las funciones homográficas, existen dos tipos de asíntotas: vertical y horizontal.

Asíntota Vertical

La asíntota vertical se encuentra en el valor de x que hace que el denominador de la función sea igual a cero. Es decir, se calcula resolviendo la ecuación:

cx + d = 0

Resolviendo para x, obtenemos la ecuación de la asíntota vertical: x = -d/c

Es importante notar que la función no está definida en este punto, lo que resulta en una discontinuidad en la gráfica.

Asíntota Horizontal

La asíntota horizontal representa el comportamiento de la función cuando x tiende a infinito. Para encontrarla, se analiza el límite de la función cuando x tiende a infinito:

lim (x→∞) [(ax + b) / (cx + d)]

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador (que es el caso en las funciones homográficas), el límite es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado: a/c. Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es:

y = a/c

Intersecciones con los Ejes

Para hallar las intersecciones con los ejes, se procede de la siguiente manera:

Intersección con el Eje Y

Para encontrar la intersección con el eje y, se hace x = 0 en la ecuación de la función:

f(0) = b/d

Por lo tanto, la intersección con el eje y es el punto (0, b/d).

Intersección con el Eje X

Para encontrar la intersección con el eje x, se hace y = 0 (o f(x) = 0) en la ecuación de la función:

(ax + b) / (cx + d) = 0

Resolviendo para x, se obtiene: x = -b/a

Por lo tanto, la intersección con el eje x es el punto (-b/a, 0).

Pasos para Graficar una Función Homográfica

Para graficar una función homográfica, se siguen los siguientes pasos:

1. Encontrar las asíntotas: Calcular la asíntota vertical (x = -d/c) y la asíntota horizontal (y = a/c).
2. Hallar las intersecciones con los ejes: Determinar la intersección con el eje y (0, b/d) y la intersección con el eje x (-b/a, 0).
3. Analizar el comportamiento de la función en intervalos determinados por las asíntotas: Seleccionar puntos en cada intervalo definido por la asíntota vertical para determinar si la función crece o decrece en esos intervalos.
4. Dibujar la gráfica: Trazar las asíntotas y los puntos de intersección, y luego dibujar la curva teniendo en cuenta el comportamiento en cada intervalo.

Ejemplos de Funciones Homográficas y sus Gráficas

Analicemos algunos ejemplos para ilustrar el proceso de graficación:

Ejemplo 1: f(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Asíntota vertical: x = 1

Asíntota horizontal: y = 2

Intersección con el eje y: (0, -1)

Intersección con el eje x: (-1/2, 0)

Ejemplo 2: f(x) = (x - 2) / (2x + 3)

Asíntota vertical: x = -3/2

Asíntota horizontal: y = 1/2

Intersección con el eje y: (0, -2/3)

Intersección con el eje x: (2, 0)

Tabla Comparativa de Características

Consultas Habituales sobre Funciones Homográficas

• ¿Cómo se determina el dominio de una función homográfica? El dominio de una función homográfica está formado por todos los números reales excepto el valor que anula el denominador (x = -d/c).
• ¿Qué sucede con la gráfica de una función homográfica cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador? Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, la función no tiene asíntota horizontal, sino una asíntota oblicua.
• ¿Existen funciones homográficas que no tengan asíntotas horizontales? Sí, las funciones homográficas que no tienen asíntota horizontal son aquellas donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
• ¿Cómo se puede transformar una función homográfica para facilitar su graficación? A veces, se puede simplificar la función homográfica mediante la división de polinomios para obtener una expresión más sencilla que facilite la graficación.

Comprender las características de las funciones homográficas, incluyendo sus asíntotas e intersecciones, es esencial para poder graficarlas con precisión. El seguimiento de los pasos descritos anteriormente permite un análisis completo de su comportamiento y la representación gráfica adecuada. La práctica con diversos ejemplos consolidará la comprensión de estos conceptos y permitirá un manejo fluido de este tipo de funciones.