Función inyectiva: gráfica y definición

Función inyectiva, también conocida como función uno a uno, es un concepto fundamental en matemáticas que describe un tipo específico de relación entre los elementos de dos conjuntos. En este artículo, exploraremos a fondo qué es una función inyectiva, cómo identificarlas gráficamente, sus propiedades, y la relación con otros tipos de funciones como las sobreyectivas y biyectivas.

¿Qué es una función inyectiva?

Una función f: X → Yse considera inyectiva si cada elemento del codominio Yestá asociado con, como máximo, un elemento del dominio X. En otras palabras, cada valor de salida (en el codominio) tiene a lo sumo una preimagen en el dominio. Esto implica que diferentes elementos del dominio producen diferentes elementos en el codominio.

Formalmente, una función fes inyectiva si y solo si:

∀ x₁, x₂ ∈ X, si f(x₁) = f(x₂), entonces x₁ = x₂.

O, de forma equivalente:

∀ x₁, x₂ ∈ X, si x₁ ≠ x₂, entonces f(x₁) ≠ f(x₂).

Representación gráfica de una función inyectiva

La forma más intuitiva de identificar una función inyectiva es mediante su representación gráfica. Una función es inyectiva si cualquier línea horizontal trazada a través de la gráfica interseca a la misma en, como máximo, un punto. Si una línea horizontal interseca la gráfica en dos o más puntos, la función no es inyectiva.

Tabla comparativa: Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Ejemplos de Funciones Inyectivas

A continuación, se presentan algunos ejemplos de funciones inyectivas, junto con sus representaciones gráficas (imaginarias):

• f(x) = x: La función identidad. Es una función inyectiva , sobreyectiva y, por lo tanto, biyectiva.
• f(x) = 2x + 1: Una función lineal. Es una función inyectiva y sobreyectiva.
• f(x) = e ^x : La función exponencial (con codominio en los reales positivos). Es una función inyectiva .
• f(x) = x³: Una función cúbica. Es una función inyectiva .

Ejemplos de Funciones NO Inyectivas

Para contrastar, veamos algunos ejemplos de funciones que no son inyectivas:

• f(x) = x²: Una función cuadrática. No es inyectiva porque, por ejemplo, f(2) = f(-2) =
• f(x) = sen(x): La función seno. No es inyectiva debido a su periodicidad; sen(0) = sen(π) = 0.
• f(x) = |x|: La función valor absoluto. No es inyectiva porque f(2) = f(-2) =

Propiedades de las Funciones Inyectivas

Las funciones inyectivas poseen varias propiedades importantes:

• Composición: La composición de dos funciones inyectivas es también una función inyectiva.
• Inversa: Una función inyectiva, restringiendo su codominio a su imagen, tiene una función inversa que es también una función.
• Monotonicidad: Las funciones estrictamente monótonas (crecientes o decrecientes) son siempre inyectivas.

Aplicaciones de las Funciones Inyectivas

Las funciones inyectivas tienen amplias aplicaciones en diversos campos, incluyendo:

• Criptografía: Funciones hash criptográficas ideales son inyectivas para garantizar la unicidad de los valores hash.
• Teoría de conjuntos: La cardinalidad de conjuntos se relaciona con la existencia de funciones biyectivas (inyectivas y sobreyectivas) entre ellos.
• Álgebra lineal: Los transformaciones lineales inyectivas preservan la independencia lineal de vectores.

Consultas Habituales sobre Funciones Inyectivas

¿Cómo se prueba que una función es inyectiva? Se puede demostrar mediante la definición formal (mostrando que si f(x₁) = f(x₂), entonces x₁ = x₂), o gráficamente, mediante la prueba de la línea horizontal.

¿Toda función inyectiva es sobreyectiva? No, una función inyectiva no necesariamente es sobreyectiva. Una función inyectiva solo garantiza que cada elemento del codominio tiene a lo sumo una preimagen, mientras que una sobreyectiva exige que tenga al menos una.

¿Qué diferencia hay entre una función inyectiva y una biyectiva? Una función biyectiva es tanto inyectiva como sobreyectiva. Es decir, cada elemento del codominio tiene exactamente una preimagen en el dominio.

Conclusión

El concepto de función inyectiva es fundamental para comprender el comportamiento de las funciones matemáticas. La capacidad de identificar una función inyectiva, tanto analítica como gráficamente, es esencial para diversas aplicaciones en matemáticas y otras áreas de la ciencia y la tecnología. Comprender la diferencia entre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas es crucial para un dominio profundo de este tema.