Función discontinua: gráfica y tipos de discontinuidad

En el análisis matemático, comprender el concepto de función discontinua es crucial. Una función discontinua se caracteriza por tener interrupciones o saltos en su gráfica, a diferencia de una función continua que presenta un trazo ininterrumpido. Este artículo explorará en detalle qué son las funciones discontinuas, cómo identificarlas en una gráfica, sus diferentes tipos y cómo abordarlas matemáticamente.

Identificación de una Función Discontinua en una Gráfica

La forma más sencilla de identificar una función discontinua es a través de su representación gráfica. Observa las siguientes características:

• Saltos en la curva: Si la gráfica presenta un salto o ruptura en algún punto, la función es discontinua en ese punto. Es decir, al trazar la función, se observa una separación en la línea.
• Círculos vacíos: La presencia de un círculo pequeño sin relleno en la gráfica indica un punto donde la función no está definida, lo que implica una discontinuidad.
• Asíntotas: La aproximación de la gráfica a una asíntota vertical (línea punteada vertical) sugiere una discontinuidad infinita. La función se acerca indefinidamente a la asíntota, sin llegar a tocarla.

Tipos de Discontinuidades

Existen varios tipos de discontinuidades, cada una con características específicas:

Discontinuidad Evitable:

En este tipo de discontinuidad, el límite de la función existe en el punto, pero el valor de la función en ese punto es diferente o no está definido. Es decir, se podría «rellenar» el hueco en la gráfica para hacerla continua. Esto ocurre, por ejemplo, en funciones racionales donde se puede simplificar una expresión que genera una indeterminación. Para evitar la discontinuidad, se redefine la función en ese punto para que coincida con el valor del límite.

Discontinuidad de Salto:

Se caracteriza porque existen los límites laterales (izquierdo y derecho) en el punto, pero estos límites no coinciden. La gráfica presenta un «salto» en este punto. La diferencia entre los límites laterales representa la magnitud del salto.

Discontinuidad Esencial o No Evitable:

Este tipo de discontinuidad se subdivide en dos categorías:

• Discontinuidad de Salto: Similar a la discontinuidad de salto descrita anteriormente.
• Discontinuidad Infinita o Asintótica: En este caso, al menos uno de los límites laterales es infinito. La gráfica se acerca infinitamente a una asíntota vertical.

Discontinuidad por Dominio de Definición:

Ocurre cuando la función está definida en un punto, pero el valor de la función en ese punto no coincide con el límite de la función. Es decir, el punto está definido pero no encaja en la continuidad general de la curva.

Ejemplos de Funciones Discontinuas

Veamos algunos ejemplos que ilustran los diferentes tipos de discontinuidades:

Ejemplo 1: Discontinuidad Evitable

Consideremos la función:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Esta función tiene una discontinuidad evitable en x = 1, ya que el denominador se anula en ese punto. Sin embargo, simplificando la expresión, obtenemos f(x) = x + 1 (para x ≠ 1), que es una función continua. El límite de f(x) cuando x tiende a 1 es Redefiniendo f(1) = 2, eliminamos la discontinuidad.

Ejemplo 2: Discontinuidad de Salto

Una función definida a trozos puede presentar una discontinuidad de salto. Por ejemplo:

f(x) = { x si x < 1, 2 si x ≥ 1 }

En x = 1, el límite por la izquierda es 1, y el límite por la derecha es Como los límites laterales no coinciden, existe una discontinuidad de salto.

Ejemplo 3: Discontinuidad Asintótica

La función f(x) = 1/x presenta una discontinuidad asintótica en x = 0. Cuando x se acerca a 0 por la derecha, f(x) tiende a infinito positivo, y cuando x se acerca a 0 por la izquierda, f(x) tiende a infinito negativo.

Tabla Comparativa de Discontinuidades

Aplicaciones de las Funciones Discontinuas

Las funciones discontinuas modelan fenómenos del entorno real donde ocurren cambios bruscos o saltos. Ejemplos incluyen:

• Precios de acciones: El precio de una acción puede cambiar repentinamente en respuesta a noticias.
• El movimiento de un ascensor: El ascensor se mueve de forma continua en un rango, pero realiza paradas y cambios abruptos de dirección.
• Temperaturas: El cambio de fase del agua (de hielo a líquido o de líquido a vapor) representa una discontinuidad en la gráfica de temperatura.

Conclusión

Comprender las funciones discontinuas y sus diferentes tipos es fundamental para el análisis matemático y la modelación de fenómenos reales. La capacidad de identificar y clasificar las discontinuidades permite un análisis más preciso del comportamiento de las funciones y sus implicaciones.