09/06/2020
Las parábolas, esas curvas tan características en forma de U, son un tema fundamental en álgebra y matemáticas en general. Su representación gráfica y el análisis de sus propiedades son esenciales para resolver una gran variedad de problemas. Este artículo se centra en la gráfica de parábolas, proporcionando una información con ejercicios resueltos para que puedas dominar este concepto.
Elementos Clave de una Parábola
Antes de abordar los ejercicios resueltos, revisemos los elementos clave que definen una parábola:
- Vértice: El punto más alto o más bajo de la parábola.
- Eje de Simetría: La línea vertical que divide la parábola en dos mitades simétricas. Pasa por el vértice.
- Foco: Un punto clave que define la forma de la parábola. Todos los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco y de la directriz.
- Directriz: Una línea recta perpendicular al eje de simetría. La distancia de cualquier punto de la parábola a la directriz es igual a su distancia al foco.
- Forma Canónica: La ecuación que define la parábola en su forma más simple. Existen dos formas canónicas, dependiendo de si el eje de simetría es vertical u horizontal.
Forma Canónica de la Parábola
La forma canónica de una parábola con eje de simetría vertical es: y = a(x - h)² + k, donde (h, k) son las coordenadas del vértice y 'a' determina la dirección y la abertura de la parábola. Si 'a' > 0, la parábola abre hacia arriba; si 'a' < 0, abre hacia abajo.
Para una parábola con eje de simetría horizontal, la forma canónica es: x = a(y - k)² + h. Si 'a' > 0, la parábola abre hacia la derecha; si 'a' < 0, abre hacia la izquierda.
Ejercicios Resueltos de Gráfica de Parábolas
Veamos algunos ejercicios resueltos para afianzar estos conceptos:
Ejercicio 1: Parábola con Eje Vertical
Grafica la parábola y = 2(x - 1)² + 3.
Solución:
- Identifica el vértice: El vértice es (1, 3).
- Determina la dirección de la abertura: Como 'a' = 2 > 0, la parábola abre hacia arriba.
- Encuentra otros puntos: Sustituye valores de 'x' en la ecuación para encontrar los puntos correspondientes en 'y'. Por ejemplo, para x = 0, y = 5; para x = 2, y =
- Dibuja la parábola: Traza el vértice y los puntos encontrados, luego dibuja la curva que los une, manteniendo la simetría con respecto al eje de simetría x =
Ejercicio 2: Parábola con Eje Horizontal
Grafica la parábola x = - (y + 2)² + 1.
Solución:
- Identifica el vértice: El vértice es (1, -2).
- Determina la dirección de la abertura: Como 'a' = -1 < 0, la parábola abre hacia la izquierda.
- Encuentra otros puntos: Sustituye valores de 'y' en la ecuación para hallar los puntos en 'x'. Por ejemplo, para y = -1, x = 0; para y = -3, x = 0.
- Dibuja la parábola: Traza el vértice y los puntos encontrados, luego dibuja la curva que los une, manteniendo la simetría con respecto al eje de simetría y = -
Ejercicio 3: Encontrar la Ecuación de una Parábola
Encuentra la ecuación de una parábola con vértice en (2, -1) y que pasa por el punto (3, 1). El eje de simetría es vertical.
Solución:
- Utiliza la forma canónica: y = a(x - h)² + k, con (h, k) = (2, -1).
- Sustituye el punto conocido: Sustituye las coordenadas del punto (3, 1) en la ecuación: 1 = a(3 - 2)² + (-1).
- Resuelve para 'a': 1 = a + (-1) => a =
- Escribe la ecuación: La ecuación de la parábola es y = 2(x - 2)² -
Tabla Comparativa de Parábolas
Para facilitar la comprensión, veamos una tabla que resume las características de las parábolas:
| Característica | Parábola con eje vertical (a>0) | Parábola con eje vertical (a<0) | Parábola con eje horizontal (a>0) | Parábola con eje horizontal (a<0) |
|---|---|---|---|---|
| Abertura | Hacia arriba | Hacia abajo | Hacia la derecha | Hacia la izquierda |
| Forma Canónica | y = a(x-h)²+k | y = a(x-h)²+k | x = a(y-k)²+h | x = a(y-k)²+h |
| Vértice | (h,k) | (h,k) | (h,k) | (h,k) |
Consultas Habituales sobre Gráfica de Parábolas
- ¿Cómo se grafica una parábola? Se grafica identificando el vértice, la dirección de la abertura y encontrando otros puntos utilizando la ecuación. Luego, se unen los puntos para formar la curva.
- ¿Qué significa el valor de 'a' en la ecuación de una parábola? 'a' determina la dirección de la abertura y el grado de estrechez o anchura de la parábola. Un valor absoluto mayor de 'a' indica una parábola más estrecha.
- ¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola? El vértice de una parábola en su forma canónica es el punto (h, k).
- ¿Cómo se encuentra la ecuación de una parábola dados ciertos puntos? Se utiliza la forma canónica de la ecuación y se sustituyen las coordenadas de los puntos conocidos para resolver las constantes desconocidas.
La práctica constante es la clave para dominar la gráfica de parábolas. Recuerda que la comprensión de los elementos clave y la aplicación de la forma canónica te permitirán resolver cualquier ejercicio resuelto de este tema.