14/06/2022
La covarianza es una medida estadística fundamental que describe la relación lineal entre dos variables. A diferencia de la correlación, que estandariza la medida para un rango entre -1 y 1, la covarianza expresa la relación en las unidades de las variables originales. Una covarianza gráfica, aunque no un término formalmente establecido, se refiere a la representación visual de esta relación, a menudo complementada con cálculos numéricos para una interpretación más completa.
¿Qué es la Covarianza?
La covarianza cuantifica cómo dos variables tienden a cambiar juntas. Si ambas variables tienden a aumentar o disminuir simultáneamente, la covarianza es positiva. Si una variable tiende a aumentar mientras la otra disminuye, la covarianza es negativa. Una covarianza cercana a cero sugiere una débil relación lineal entre las variables.
Interpretación de la Covarianza
- Covarianza positiva : Indica una relación directa; cuando una variable aumenta, la otra tiende a aumentar también.
- Covarianza negativa : Indica una relación inversa; cuando una variable aumenta, la otra tiende a disminuir.
- Covarianza cercana a cero : Sugiere una ausencia de una relación lineal significativa entre las variables. Es importante destacar que la ausencia de una relación lineal no implica la ausencia de cualquier tipo de relación.
Es crucial entender que la magnitud de la covarianza no indica la fuerza de la relación. Para evaluar la fuerza, se utiliza el coeficiente de correlación, que escala la covarianza a un rango entre -1 y
Cálculo de la Covarianza
La fórmula para calcular la covarianza entre dos variables X e Y con n observaciones es:
Cov(X, Y) = Σ [(xi - x̄) (yi - ȳ)] / (n - 1)
Donde:
- xi: Valor individual de la variable X.
- yi: Valor individual de la variable Y.
- x̄: Media de la variable X.
- ȳ: Media de la variable Y.
- n: Número total de observaciones.
Para conjuntos de datos con frecuencias no unitarias, la fórmula se ajusta para considerar las frecuencias de cada par de observaciones (xi, yi).
Propiedades de la Covarianza
- Cov(X, b) = 0, donde b es una constante.
- Cov(X, X) = Var(X), es decir, la covarianza de una variable consigo misma es su varianza.
- Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
- Cov(b·X, c·Y) = b·c·Cov(X, Y), donde b y c son constantes.
- Cov(b + X, c + Y) = Cov(X, Y), donde b y c son constantes.
- Cov(X, Y) = E(X·Y) - E(X)·E(Y), donde E representa la esperanza matemática.
Si X e Y son independientes, entonces Cov(X, Y) = 0. Sin embargo, la inversa no es siempre cierta; una covarianza de cero no garantiza independencia, solo la ausencia de una relación lineal.
Ejemplo de Cálculo de Covarianza
Consideremos los siguientes datos:
| X | Y |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 4 | 6 |
| 6 | 8 |
| 8 | 10 |
Calculando la covarianza:
- Calcular las medias: x̄ = 5, ȳ = 7
- Calcular las diferencias respecto a la media para cada variable.
- Multiplicar las diferencias correspondientes para cada observación.
- Sumar los productos de las diferencias.
- Dividir el resultado entre n-1 (en este caso, 3).
El resultado será una covarianza positiva, indicando una relación directa entre X e Y.
Representación Gráfica
Una representación gráfica de la covarianza puede ser un diagrama de dispersión, donde cada punto representa una observación (xi, yi). La dirección general de los puntos (ascendente para covarianza positiva, descendente para covarianza negativa, dispersa para covarianza cercana a cero) proporciona una idea visual de la relación. Acompañar este gráfico con el valor numérico de la covarianza y el coeficiente de correlación proporciona una interpretación más completa.
Aplicaciones de la Covarianza
La covarianza encuentra aplicación en diversos campos:
- Finanzas : Para analizar el riesgo y la diversificación de portafolios de inversión. Una covarianza negativa entre los rendimientos de dos activos indica que son buenos candidatos para diversificación.
- Estadística : En análisis multivariado, la matriz de covarianzas resume las relaciones entre múltiples variables.
- Ingeniería : En el control de procesos y análisis de señales.
- Ciencias naturales : Para modelar relaciones entre variables en experimentos científicos.
Covarianza vs. Correlación
Aunque relacionadas, la covarianza y la correlación difieren en su interpretación:
| Característica | Covarianza | Correlación |
|---|---|---|
| Escala | Unidades de las variables | -1 a +1 |
| Interpretación | Dirección y magnitud (no estandarizada) | Dirección y fuerza (estandarizada) |
| Comparabilidad | No directamente comparable entre diferentes pares de variables | Comparable entre diferentes pares de variables |
Consultas Habituales
- ¿Qué significa una covarianza de 1? Una covarianza de 1 no tiene un significado específico por sí sola, ya que depende de las unidades de las variables. Solo indica una relación lineal positiva fuerte, pero no tan fuerte como una correlación de
- ¿Qué significa una covarianza de 0? No implica necesariamente independencia, solo la ausencia de una relación lineal.
- ¿Cómo se interpreta la matriz de covarianzas? La diagonal principal contiene las varianzas de cada variable, mientras que los elementos fuera de la diagonal representan las covarianzas entre pares de variables.
La comprensión de la covarianza gráfica, combinando el análisis visual con el cálculo numérico, es crucial para interpretar adecuadamente la relación entre variables y tomar decisiones informadas en diversos contextos.