Gráfica de una función fraccionaria

Las funciones fraccionarias, también conocidas como funciones racionales, son un tipo de función matemática expresada como el cociente de dos polinomios. A diferencia de las funciones polinómicas, las funciones fraccionarias presentan características únicas en sus gráficas, dominios y comportamientos, que las hacen maravillosos de estudiar. Este artículo profundiza en la comprensión y el análisis de las gráficas de estas funciones, investigando sus propiedades clave y cómo identificarlas.

¿Qué es una Función Fraccionaria?

Una función fraccionaria se define como una función de la forma f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio cero (para evitar la división entre cero). Las funciones polinómicas, como f(x) = x² + 2x + 1, son un caso particular de funciones racionales donde el denominador es una constante (Q(x) = 1).

Las funciones fraccionarias y las funciones polinómicas conforman el conjunto de las funciones racionales. Es importante notar que no todas las funciones racionales son fraccionarias; solo lo son aquellas donde el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.

Analizando Funciones Fraccionarias Simples

Para comprender mejor las gráficas de funciones fraccionarias, empezaremos con casos sencillos. Analizaremos dos formas comunes:

Funciones de la forma r/x:

En este tipo de función, 'r' es una constante. La gráfica de estas funciones es una hipérbola con asíntotas en x = 0 (el eje y) e y = 0 (el eje x). El dominio es todo ℝ excepto x = 0. El comportamiento de la función cambia drásticamente en torno a la asíntota vertical. Si 'r' es positivo, la función tiende a infinito positivo cuando x tiende a 0 por la derecha y a infinito negativo cuando x tiende a 0 por la izquierda. Lo contrario ocurre si 'r' es negativo.

Ejemplo: f(x) = 2/x

Como se puede observar, a medida que x se acerca a cero, f(x) tiende a infinito (positivo o negativo) dependiendo del signo de x.

Funciones de la forma (ax + b) / (cx + d):

Estas funciones son un poco más complejas. Sus gráficas son también hipérbolas, pero las asíntotas no necesariamente coinciden con los ejes coordenados. Para encontrar las asíntotas, debemos analizar los casos:

• Asíntota vertical: Se encuentra en x = -d/c, siempre y cuando c ≠ 0. Este valor hace que el denominador sea cero.
• Asíntota horizontal: Se encuentra en y = a/c, siempre y cuando c ≠ 0.

El dominio de esta función es todo ℝ excepto x = -d/c. El comportamiento alrededor de las asíntotas es similar al caso anterior, la función tiende a infinito en la asíntota vertical y se aproxima a la asíntota horizontal cuando x tiende a infinito o menos infinito.

Ejemplo: f(x) = (2x + 1) / (x - 3)

En este ejemplo, la asíntota vertical está en x = 3 y la asíntota horizontal en y =

Funciones Homográficas: Un Caso Especial

Las funciones homográficas son un tipo particular de funciones racionales de la forma f(x) = (ax + b) / (cx + d), donde a, b, c y d son constantes y ad - bc ≠ 0. Estas funciones poseen propiedades interesantes:

• Siempre tienen una asíntota vertical en x = -d/c (si c ≠ 0).
• Siempre tienen una asíntota horizontal en y = a/c (si c ≠ 0).
• Son biyectivas , es decir, tienen inversa.
• Su gráfica es una hipérbola . La rama de la hipérbola se encuentra en dos cuadrantes opuestos; por ejemplo, si la asíntota vertical es positiva y la horizontal también, la rama de la hipérbola está ubicada en los cuadrantes I y III.

La ubicación de las asíntotas y la rama de la hipérbola determina el comportamiento de la función en diferentes regiones del plano cartesiano.

Dominio y Rango de las Funciones Fraccionarias

El dominio de una función fraccionaria es el conjunto de todos los valores de x para los que la función está definida. Esto significa que el denominador no puede ser cero. Por lo tanto, para encontrar el dominio, debemos resolver la ecuación Q(x) = 0 y excluir esas soluciones del dominio. El rango es el conjunto de todos los valores posibles de y.

Ejemplo: f(x) = (x + 2) / (x² - 4)

En este caso, el denominador es cero cuando x = 2 o x = -Por lo tanto, el dominio es todo ℝ excepto x = 2 y x = -El rango puede ser más complicado de determinar y requiere un análisis más profundo de la función.

Consultas Habituales sobre las Gráficas de Funciones Fraccionarias

A continuación, se responden algunas consultas habituales sobre la representación gráfica de funciones fraccionarias:

• ¿Cómo encuentro las asíntotas? Para las funciones de la forma (ax + b) / (cx + d), la asíntota vertical se encuentra en x = -d/c y la asíntota horizontal en y = a/c (siempre que c ≠ 0). En casos más complejos, se utiliza el análisis de límites.
• ¿Cómo grafico una función fraccionaria? Se empieza encontrando las asíntotas. Luego, se analizan los puntos de corte con los ejes x e y. Finalmente, se evalúa el comportamiento de la función en diferentes intervalos, teniendo en cuenta las asíntotas.
• ¿Qué pasa si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador? En este caso, la función no tendrá una asíntota horizontal, sino una asíntota oblicua. Se utiliza la división polinómica para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua.
• ¿Cómo determino el dominio y rango? El dominio se encuentra excluyendo los valores de x que hacen que el denominador sea cero. El rango requiere un análisis más detallado, dependiendo de la complejidad de la función.

Tabla Comparativa de Tipos de Funciones Racionales

El estudio de las gráficas de las funciones fraccionarias requiere un análisis cuidadoso de sus asíntotas, dominio y comportamiento en torno a las mismas. La comprensión de estos elementos es fundamental para una representación gráfica precisa y completa de estas funciones matemáticas.