10/08/2022
En matemáticas, las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales. Su gráfica presenta una asíntota vertical y un crecimiento o decrecimiento gradual. Aprender a determinar la ecuación de una función logarítmica a partir de su gráfica es una habilidad fundamental en el álgebra y el cálculo. Este artículo te guiará paso a paso en el proceso, cubriendo diferentes aspectos y ejemplos para que puedas comprenderlo completamente.
La ecuación general de una función logarítmica
La forma general de una función logarítmica es: f(x) = alog b (x + c) + d
Donde:
- a : Afecta a la amplitud vertical de la gráfica. Si |a| > 1, la gráfica se estira verticalmente; si 0 < |a| < 1, se comprime verticalmente. Si a es negativo, la gráfica se refleja sobre el eje x.
- b : Es la base del logaritmo. Determina la rapidez del crecimiento o decrecimiento de la función. Una base mayor implica un crecimiento más lento.
- c : Representa el desplazamiento horizontal (traslación). Si c es positivo, la gráfica se desplaza c unidades hacia la izquierda; si c es negativo, se desplaza c unidades hacia la derecha. La asíntota vertical se encuentra en x = -c.
- d : Representa el desplazamiento vertical (traslación). Si d es positivo, la gráfica se desplaza d unidades hacia arriba; si d es negativo, se desplaza d unidades hacia abajo.
Pasos para hallar la ecuación a partir de la gráfica
Para determinar la ecuación de una función logarítmica a partir de su gráfica, debemos identificar los parámetros a, b, c y d. Aquí te mostramos cómo hacerlo:
Identificar la asíntota vertical
La asíntota vertical es una línea vertical a la que la gráfica se acerca infinitamente, pero nunca la toca. La ecuación de la asíntota vertical es de la forma x = -c. Por lo tanto, observando la gráfica, podemos determinar el valor de c.
Encontrar el punto de intersección con el eje y
Si la gráfica interseca el eje y, significa que x = 0. Sustituyendo x = 0 en la ecuación general, obtenemos: f(0) = alog b (c) + d. Este punto nos puede dar información adicional para determinar los parámetros.
Determinar la base 'b'
La base b es generalmente 10 (logaritmo decimal) o e(logaritmo natural), pero puede ser cualquier número positivo diferente de Para determinar b, necesitamos identificar dos puntos en la gráfica. Selecciona dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) y utiliza la ecuación general para formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (usualmente a y b, si ya se obtuvo c y d ). Resolver este sistema puede ser complejo y, a veces, requiere aproximaciones o el uso de software matemático. En muchos casos, la base se puede deducir a partir del contexto o características de la gráfica.
Hallar 'a' y 'd'
Una vez que se ha determinado b y c, podemos usar otros puntos de la gráfica para resolver a y d. Sustituye las coordenadas de los puntos seleccionados en la ecuación general y resuelve el sistema de ecuaciones resultante. Este proceso puede implicar operaciones algebraicas, incluyendo la utilización de propiedades de los logaritmos para simplificar las ecuaciones.
Ejemplos
Ejemplo 1: Gráfica simple
Supongamos que la gráfica tiene una asíntota vertical en x = 1, pasa por el punto (2, 0) y parece ser una función logarítmica base Entonces, c = -Usando el punto (2, 0) en la ecuación general: 0 = alog 10(2 - 1) + d => 0 = alog 10(1) + d => d = 0. Si asumimos que a = 1, entonces la ecuación sería f(x) = log 10 (x + 1).
Ejemplo 2: Gráfica con traslaciones
Imaginemos una gráfica con una asíntota vertical en x = -2, que pasa por los puntos (0, 1) y (1, 2) y parece tener una base Entonces, c = Sustituyendo los puntos en la ecuación general: 1 = alog 2(2) + d y 2 = alog 2(3) + d. Restando la primera ecuación de la segunda, se obtiene 1 = a(log 2(3) - log 2(2)) => 1 = alog 2(3/2) . Resolviendo para 'a', y luego sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener 'd', podemos obtener la ecuación completa. Este proceso suele implicar el uso de calculadora o software matemático.
Consideraciones adicionales
En algunos casos, la determinación precisa de los parámetros puede ser difícil o incluso imposible sin herramientas de regresión o software especializado, especialmente cuando la base del logaritmo no es obvia. En esos casos, aproximaciones razonables basadas en el comportamiento visual de la gráfica pueden ser suficientes.
Es importante recordar que la precisión del resultado depende de la precisión con la que se identifican los puntos de la gráfica y la habilidad para resolver el sistema de ecuaciones. El uso de software matemático puede facilitar significativamente el proceso y mejorar la precisión de los resultados.
La comprensión de las transformaciones geométricas de las funciones (traslaciones, estiramientos y reflexiones) es esencial para interpretar correctamente la gráfica y determinar los parámetros de la ecuación logarítmica.
Consultas habituales
- ¿Cómo puedo determinar la base del logaritmo si no se conoce? En muchos casos, la base se puede inferir del contexto del problema o a través de aproximaciones, analizando la forma y el crecimiento de la gráfica. En otros, se requiere software o técnicas de regresión.
- ¿Qué pasa si la gráfica no interseca el eje Y? Si la gráfica no interseca el eje Y, significa que la función no está definida para x = 0. En este caso, debes utilizar otros puntos de la gráfica para resolver el sistema de ecuaciones.
- ¿Qué herramientas puedo usar para facilitar el proceso? Software matemático como GeoGebra, Matlab, o incluso calculadoras científicas avanzadas pueden ser de gran ayuda para resolver sistemas de ecuaciones y para ajustar curvas a datos.
Tabla comparativa de transformaciones
| Parámetro | Efecto en la gráfica |
|---|---|
| a | Amplitud vertical; a < 0 refleja la gráfica sobre el eje x |
| b | Base del logaritmo; determina la rapidez del crecimiento |
| c | Traslación horizontal; x = -c es la asíntota vertical |
| d | Traslación vertical |
En resumen, hallar la ecuación de una función logarítmica a partir de su gráfica implica identificar la asíntota vertical, seleccionar puntos clave en la gráfica y resolver un sistema de ecuaciones para determinar los parámetros a, b, c y d. Este proceso, aunque pueda parecer complejo, se vuelve más manejable con la práctica y el uso de herramientas apropiadas. Recuerda que la precisión de la ecuación obtenida depende de la precisión en la lectura de los puntos de la gráfica.