Cómo graficar una función cuadrática en su forma factorizada

La representación gráfica de una función cuadrática en su forma factorizada proporciona una comprensión visual rápida de sus características clave, especialmente sus intersecciones con el eje x y la concavidad. Esta forma, también conocida como forma intersección, nos permite determinar rápidamente ciertos puntos clave para graficar la parábola con precisión.

Forma factorizada de una función cuadrática

Una función cuadrática en su forma factorizada se expresa como: y = a(x - p)(x - q)

Donde:

• 'a' es un coeficiente que determina la abertura y dirección de la parábola. Si a > 0 , la parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba), y si a < 0 , la parábola abre hacia abajo (cóncava hacia abajo). El valor absoluto de 'a' determina el grado de estiramiento o compresión vertical de la parábola.
• 'p' y 'q' son las raíces o ceros de la función, es decir, los valores de x donde la parábola interseca el eje x (y = 0). Estos puntos también se conocen como intersecciones x.

Pasos para graficar una función cuadrática en su forma factorizada

Para graficar una función cuadrática en su forma factorizada, sigue estos pasos:

Identificar las intersecciones con el eje x

Las intersecciones con el eje x se obtienen directamente de la forma factorizada: x = p y x = q. Estos son los puntos (p, 0) y (q, 0) en el plano cartesiano.

Determinar el vértice de la parábola

El vértice de la parábola se encuentra en el punto medio entre las intersecciones con el eje x. Su coordenada x se calcula como:

x _vértice = (p + q) / 2

Para obtener la coordenada y del vértice, sustituye el valor de x _vérticeen la ecuación de la función:

y _vértice = a(x _vértice - p)(x _vértice - q)

El vértice es el punto (x _vértice, y _vértice).

Determinar la concavidad

El signo del coeficiente 'a' determina la concavidad de la parábola:

• Si a > 0 , la parábola abre hacia arriba.
• Si a < 0 , la parábola abre hacia abajo.

Encontrar puntos adicionales (opcional)

Para mayor precisión en el gráfico, puedes calcular algunos puntos adicionales sustituyendo valores de x en la ecuación de la función y obteniendo los correspondientes valores de y. Es recomendable elegir valores de x cercanos al vértice.

Trazar la parábola

Una vez que tienes las intersecciones con el eje x, el vértice y otros puntos adicionales (si los calculaste), puedes trazar la parábola en el plano cartesiano, uniendo los puntos con una curva suave que refleje la concavidad determinada por el valor de 'a'.

Ejemplos

Ejemplo 1: y = 2(x - 1)(x - 3)

En este caso, a = 2, p = 1 y q = 3.

• Intersecciones con el eje x: (1, 0) y (3, 0)
• x _vértice = (1 + 3) / 2 = 2
• y _vértice = 2(2 - 1)(2 - 3) = -2
• Vértice: (2, -2)
• Concavidad: Abre hacia arriba (a > 0)

Ejemplo 2: y = -1(x + 2)(x - 4)

En este caso, a = -1, p = -2 y q = 4.

• Intersecciones con el eje x: (-2, 0) y (4, 0)
• x _vértice = (-2 + 4) / 2 = 1
• y _vértice = -1(1 + 2)(1 - 4) = 9
• Vértice: (1, 9)
• Concavidad: Abre hacia abajo (a < 0)

Tabla comparativa

Consultas habituales

• ¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola en forma factorizada? El vértice se encuentra en el punto medio entre las intersecciones con el eje x. Su coordenada x es la media de las raíces, y la coordenada y se obtiene sustituyendo la coordenada x en la ecuación.
• ¿Qué significa el coeficiente 'a' en la forma factorizada? El coeficiente 'a' determina la concavidad y el estiramiento vertical de la parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba; si a < 0, abre hacia abajo. El valor absoluto de 'a' indica el grado de estiramiento o compresión vertical.
• ¿Cómo se grafica una parábola que abre hacia abajo? Una parábola abre hacia abajo cuando el coeficiente 'a' es negativo (a < 0). El vértice será el punto máximo de la parábola.
• ¿Qué sucede si 'a' es igual a 1 o -1? Si 'a' es 1 o -1, la parábola tendrá una abertura estándar; es decir, no estará estirada ni comprimida verticalmente en comparación con la parábola y = x² o y = -x².

Comprender la forma factorizada de una función cuadrática simplifica significativamente el proceso de graficación, permitiendo una representación precisa y eficiente de la parábola. Dominar estos conceptos facilita el análisis y la interpretación de las características principales de la función cuadrática.