18/03/2019
Graficar una elipse, especialmente una elipse desplazada, puede parecer complejo a primera vista, pero con un entendimiento claro de sus componentes y ecuaciones, el proceso se vuelve mucho más sencillo. Este artículo te guiará paso a paso, desde los conceptos básicos hasta ejemplos más complejos, para que puedas dominar el arte de graficar elipses desplazadas.
Ecuación de la Elipse Desplazada
La ecuación estándar de una elipse centrada en el origen (0,0) es:
/(x 2/a 2) + (y 2/b 2) = 1
Donde:
- 'a' representa la longitud del semieje mayor (la mitad del eje más largo).
- 'b' representa la longitud del semieje menor (la mitad del eje más corto).
Sin embargo, cuando la elipse está desplazada, su centro se encuentra en un punto (h, k) diferente al origen. En este caso, la ecuación se modifica a:
/((x - h) 2/a 2) + ((y - k) 2/b 2) = 1
Donde:
- '(h, k)' son las coordenadas del centro de la elipse.
Comprender esta ecuación es fundamental para graficar cualquier elipse desplazada. La comprensión de 'h' y 'k' te indicará el desplazamiento horizontal y vertical del centro de la elipse con respecto al origen.
Pasos para Graficar una Elipse Desplazada
- Identificar el Centro: El primer paso es identificar las coordenadas (h, k) del centro de la elipse a partir de su ecuación. Recuerda que 'h' representa el desplazamiento horizontal y 'k' el desplazamiento vertical.
- Determinar los Semiejes: Identifica los valores de 'a' y 'b' en la ecuación. Recuerda que 'a' es siempre mayor o igual a 'b'. 'a' determina la longitud del semieje mayor y 'b' la longitud del semieje menor.
- Trazar el Centro: Ubica el punto (h, k) en el plano cartesiano. Este punto será el centro de tu elipse.
- Marcar los Vértices: A partir del centro, marca los cuatro vértices de la elipse. Para una elipse horizontal (a > b):
- Un vértice a la derecha del centro: (h + a, k)
- Un vértice a la izquierda del centro: (h - a, k)
- Un vértice arriba del centro: (h, k + b)
- Un vértice abajo del centro: (h, k - b)
Para una elipse vertical (b > a), los vértices se ubican de manera análoga, intercambiando 'a' y 'b'.
- Dibujar la Elipse: Una vez que tienes el centro y los cuatro vértices marcados, dibuja la elipse suavemente, pasando por estos puntos. Puedes usar una regla y un compás para mayor precisión, o simplemente dibujar a mano alzada, procurando mantener la forma elíptica.
Ejemplos de Elipses Desplazadas
Veamos algunos ejemplos para comprender mejor el proceso:
Ejemplo 1: Elipse Horizontal Desplazada
Consideremos la ecuación: ((x - 2) 2/9) + ((y + 1) 2/4) = 1
En este caso:
- Centro (h, k) = (2, -1)
- a = 3
- b = 2
Sigue los pasos anteriores para graficar esta elipse. Recuerda que es horizontal porque a > b.
Ejemplo 2: Elipse Vertical Desplazada
Consideremos la ecuación: ((x + 3) 2/4) + ((y - 2) 2/9) = 1
En este caso:
- Centro (h, k) = (-3, 2)
- a = 2
- b = 3
Esta elipse es vertical porque b > a. Grafica la elipse siguiendo los pasos indicados.
Consultas Habituales sobre Elipses Desplazadas
A continuación, abordamos algunas de las preguntas más frecuentes relacionadas con la graficación de elipses desplazadas:
¿Cómo identificar si una elipse es horizontal o vertical?
Se identifica comparando los valores de 'a' y 'b'. Si a > b, la elipse es horizontal. Si b > a, la elipse es vertical.
¿Qué ocurre si 'a' y 'b' son iguales?
Si a = b, la ecuación representa un círculo, no una elipse. En este caso, la gráfica será un círculo con centro en (h, k) y radio 'a' (o 'b', ya que son iguales).
¿Cómo puedo graficar una elipse desplazada si la ecuación no está en la forma estándar?
Si la ecuación no está en la forma estándar, primero debes completar el cuadrado para obtener la forma estándar ((x - h) 2/a 2) + ((y - k) 2/b 2) = Una vez que tengas la forma estándar, podrás seguir los pasos descritos anteriormente.
Tabla Comparativa: Elipse Centrada vs. Elipse Desplazada
| Característica | Elipse Centrada en el Origen | Elipse Desplazada |
|---|---|---|
| Ecuación | (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) = 1 | ((x - h) 2 /a 2 ) + ((y - k) 2 /b 2 ) = 1 |
| Centro | (0, 0) | (h, k) |
| Vértices | (+/-a, 0), (0, +/-b) | (h +/- a, k), (h, k +/- b) |
Conclusión
Graficar una elipse desplazada puede parecer desafiante al principio, pero siguiendo los pasos descritos y comprendiendo la ecuación estándar, el proceso se vuelve sistemático y sencillo. Recuerda identificar el centro, los semiejes, y aplicar los pasos para graficar la elipse. Con práctica, podrás graficar elipses desplazadas con facilidad y precisión.