21/04/2019
Aprender a graficar parábolas es fundamental en el álgebra y tiene aplicaciones en diversas áreas, desde la física hasta la ingeniería. Este artículo se centra en cómo graficar una parábola cuyo eje de simetría es el eje Y, es decir, parábolas de la forma x² = 4ay o variaciones de esta ecuación. Dominar este proceso te permitirá comprender mejor el comportamiento de las funciones cuadráticas y resolver problemas relacionados.
Entendiendo la Ecuación Canónica
La ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen (0,0) y eje de simetría coincidente con el eje Y es x² = 4ay, donde 'a' es un parámetro que determina la forma y la orientación de la parábola. Este parámetro 'a' es crucial porque define:
- La apertura de la parábola: Si 'a' es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Si 'a' es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
- El foco: El foco de la parábola se encuentra en (0, a).
- La directriz: La directriz es una línea recta paralela al eje X, ubicada a una distancia '-a' del vértice. Su ecuación es y = -a.
- El lado recto: El lado recto es un segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría. Su longitud es |4a|.
Pasos para Graficar una Parábola con Eje de Simetría en Y
Para graficar una parábola de la forma x² = 4ay, sigue estos pasos:
- Identifica el valor de 'a': Revisa la ecuación de la parábola y determina el valor de 'a'.
- Determina la orientación: Si 'a' > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si 'a' < 0, la parábola se abre hacia abajo.
- Encuentra el foco: El foco se encuentra en las coordenadas (0, a).
- Encuentra la directriz: La directriz es la recta y = -a.
- Determina el lado recto: La longitud del lado recto es |4a|.
- Encuentra puntos clave: Sustituye valores de 'x' en la ecuación x² = 4ay para obtener los correspondientes valores de 'y'. Es útil encontrar al menos tres o cuatro puntos para una representación precisa.
- Grafica la parábola: Ubica el vértice, el foco, la directriz y los puntos clave que calculaste. Dibuja una curva suave que pase por estos puntos, representando la forma de la parábola.
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: x² = 8y
En esta parábola, 4a = 8, por lo tanto, a = La parábola se abre hacia arriba. El foco está en (0, 2), y la directriz es y = -La longitud del lado recto es Podemos encontrar algunos puntos:
- Si x = 0, entonces y = 0 (vértice).
- Si x = 4, entonces y =
- Si x = -4, entonces y =
Con estos puntos, podemos graficar la parábola.
Ejemplo 2: x² = -4y
Aquí, 4a = -4, lo que significa que a = -La parábola se abre hacia abajo. El foco está en (0, -1), y la directriz es y = La longitud del lado recto es
- Si x = 0, entonces y = 0 (vértice).
- Si x = 2, entonces y = -
- Si x = -2, entonces y = -
Con estos puntos, podemos graficar la parábola.
Parábolas con Vértice Desplazado
Las parábolas con eje de simetría paralelo al eje Y pero con vértice desplazado se representan con ecuaciones de la forma (x - h)² = 4a(y - k), donde (h, k) son las coordenadas del vértice. La gráfica se obtiene aplicando una traslación a la parábola básica x² = 4ay. Los pasos son similares a los descritos anteriormente, pero se debe considerar el desplazamiento del vértice.
Tabla Comparativa
| Característica | x² = 4ay (a > 0) | x² = 4ay (a < 0) | (x - h)² = 4a(y - k) |
|---|---|---|---|
| Orientación | Se abre hacia arriba | Se abre hacia abajo | Depende del signo de 'a' |
| Vértice | (0, 0) | (0, 0) | (h, k) |
| Foco | (0, a) | (0, a) | (h, k + a) |
| Directriz | y = -a | y = -a | y = k - a |
| Longitud del lado recto | |4a| | |4a| | |4a| |
Consultas Habituales
- ¿Cómo se identifica el eje de simetría de una parábola? El eje de simetría de una parábola de la forma x² = 4ay es el eje Y (x = 0).
- ¿Qué significa el valor de 'a' en la ecuación de la parábola? El valor de 'a' determina la orientación y la apertura de la parábola, así como la posición del foco y la directriz.
- ¿Cómo se grafica una parábola si su ecuación no está en la forma canónica? Si la ecuación no está en la forma canónica, se debe completar el cuadrado para obtener la forma canónica y luego seguir los pasos descritos.
Graficar una parábola con eje de simetría en Y requiere comprender la ecuación canónica, identificar el valor de 'a', determinar la orientación, y encontrar el foco, la directriz y puntos clave para dibujar la curva. Practicar con diferentes ejemplos te ayudará a dominar este concepto fundamental del álgebra.