24/09/2020
La multiplicación de números complejos puede parecer compleja al principio, pero al entender su representación gráfica, el proceso se vuelve mucho más intuitivo. En este artículo, exploraremos en detalle cómo visualizar y realizar la multiplicación de números complejos utilizando el plano complejo.
Representación Gráfica de Números Complejos
Un número complejo se representa en el plano complejo, también conocido como plano de Argand. Este plano tiene un eje horizontal que representa la parte real (a) y un eje vertical que representa la parte imaginaria (b) del número complejo z = a + bi. Cada punto en el plano corresponde a un número complejo único.
Por ejemplo, el número complejo 3 + 4i se representa como un punto en el plano complejo con coordenadas (3, 4). La distancia desde el origen (0,0) hasta este punto se llama módulo o magnitud del número complejo y se denota como |z|. El ángulo que forma el segmento que une el origen con el punto y el eje real positivo se llama argumento o fase del número complejo, denotado como arg(z) o θ.
Multiplicación de Números Complejos: Una Perspectiva Geométrica
La magia de la representación gráfica radica en cómo la multiplicación de números complejos se traduce en operaciones geométricas en el plano complejo. Cuando multiplicamos dos números complejos, estamos esencialmente combinando sus módulos y sumando sus argumentos.
Consideremos dos números complejos, z 1y z 2. Si z 1tiene módulo r 1y argumento θ 1, y z 2tiene módulo r 2y argumento θ 2, entonces su producto z 1z 2tendrá:
- Módulo: r 1 r 2 (el producto de los módulos)
- Argumento: θ 1 + θ 2 (la suma de los argumentos)
Esto significa que para multiplicar dos números complejos gráficamente, primero encontramos la representación de cada número en el plano complejo. Luego, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos. El nuevo punto que resulta de estas operaciones representa el producto de los dos números complejos.
Ejemplo Práctico
Imaginemos que queremos multiplicar z 1= 2 + 2i y z 2= 1 + i√
Paso 1: Encontrar los módulos y argumentos
- Para z 1 = 2 + 2i: r 1 = √(2² + 2²) = √8 = 2√2; θ 1 = arctan(2/2) = π/4 radianes (45°)
- Para z 2 = 1 + i√3: r 2 = √(1² + (√3)²) = 2; θ 2 = arctan(√3/1) = π/3 radianes (60°)
Paso 2: Multiplicar los módulos y sumar los argumentos
- Módulo del producto: r 1 r 2 = 2√2 2 = 4√2
- Argumento del producto: θ 1 + θ 2 = π/4 + π/3 = 7π/12 radianes (105°)
Paso 3: Representar el producto en el plano complejo
El producto z 1z 2tendrá un módulo de 4√2 y un argumento de 105°. Este punto se puede encontrar en el plano complejo utilizando trigonometría: la coordenada x será 4√2 cos(105°) y la coordenada y será 4√2 sen(105°).
Multiplicación por Números Complejos Unitarios
Un caso especial interesante es la multiplicación por un número complejo unitario, es decir, un número complejo con módulo En este caso, la multiplicación solo afecta al argumento del otro número complejo. Geométricamente, esto corresponde a una rotación del número complejo alrededor del origen. El módulo permanece inalterado, pero el punto gira un ángulo igual al argumento del número complejo unitario.
Tabla Comparativa: Multiplicación Algebraica vs. Gráfica
| Método | Descripción | Ventajas | Desventajas |
|---|---|---|---|
| Algebraica | Utilizar la propiedad distributiva para expandir y simplificar la expresión. | Precisa, proporciona resultado exacto. | Puede ser tediosa para números complejos con módulos y argumentos complejos. |
| Gráfica | Utilizar la representación en el plano complejo, multiplicando módulos y sumando argumentos. | Intuitiva, visualiza la transformación geométrica. | Requiere la conversión a coordenadas polares y puede no ser precisa para cálculos manuales. |
Consultas Habituales
A continuación, se responden algunas consultas habituales sobre la multiplicación gráfica de números complejos:
- ¿Se puede multiplicar más de dos números complejos gráficamente? Sí, el proceso se puede extender a la multiplicación de tres o más números complejos. Se multiplican los módulos sucesivamente y se suman los argumentos.
- ¿Cómo se representa la división gráfica de números complejos? La división es el inverso de la multiplicación. Se dividen los módulos y se restan los argumentos.
- ¿Qué sucede si uno de los números complejos es cero? El resultado de la multiplicación será cero, independientemente del otro número complejo.
La representación gráfica de la multiplicación de números complejos proporciona una herramienta poderosa para visualizar y comprender las transformaciones geométricas involucradas. Aunque el método algebraico ofrece precisión, el método gráfico ofrece una intuición valiosa que facilita la comprensión de los conceptos y propiedades de los números complejos. La combinación de ambos métodos proporciona una comprensión completa y profunda del tema.