Cálculo del área de la región encerrada por una gráfica

El cálculo del área de la región encerrada por una gráfica es un concepto fundamental en el cálculo integral. Se aplica en diversos campos, desde la física y la ingeniería hasta la economía y la estadística. Este artículo explora diferentes métodos para determinar el área bajo una curva o entre varias curvas, proporcionando ejemplos y explicaciones detalladas para una comprensión completa del tema.

Área bajo una curva

El problema más básico consiste en encontrar el área de la región encerrada por una curva, el eje x y dos líneas verticales. Matemáticamente, si tenemos una función continua y no negativa f(x)en el intervalo [ a, b], el área bajo la curva está dada por la integral definida:

∫ _a ^b f(x)dx

Esta integral representa la suma de infinitos rectángulos de ancho infinitesimal, cuya altura es el valor de la función en cada punto. El resultado de la integral es el valor numérico del área.

Ejemplo:

Calcular el área bajo la curva f(x) = x²entre x = 0y x = 2.

Solución: La integral definida es:

∫ ₀ ² x²dx = [ x³/3] ₀ ²= (2³/3) - (0³/3) = 8/3

Por lo tanto, el área de la región encerrada por la parábola y = x², el eje x y las líneas x = 0y x = 2es 8/3 unidades cuadradas.

Área entre dos curvas

Cuando se trata de encontrar el área de la región encerrada entre dos curvas, f(x)y g(x), en un intervalo [ a, b], donde f(x) ≥ g(x)en todo el intervalo, la fórmula es:

∫ _a ^b[ f(x) - g(x)] dx

Esta fórmula representa la integral de la diferencia entre las dos funciones, lo que nos da el área entre ellas.

Ejemplo:

Encontrar el área de la región encerrada entre las curvas f(x) = x² + 1y g(x) = xentre x = 0y x = 1.

Solución: Primero, observamos que f(x) ≥ g(x)en el intervalo [0, 1]. Entonces, el área es:

∫ ₀ ¹[( x² + 1) - x] dx = ∫ ₀ ¹( x² - x + 1) dx = [ x³/3 - x²/2 + x] ₀ ¹= (1/3 - 1/2 + 1) = 5/6

El área de la región encerrada entre las dos curvas en el intervalo especificado es 5/6 unidades cuadradas.

Regiones con intersecciones

Si las curvas f(x)y g(x)se intersecan en el intervalo [ a, b], debemos dividir el intervalo en subintervalos donde una función es mayor que la otra. En cada subintervalo, se aplica la fórmula anterior, considerando el orden correcto de las funciones. La suma de las áreas de estos subintervalos da el área de la región encerrada total.

Ejemplo:

Encontrar el área entre las curvas y = xy y = x².

Solución: Las curvas se intersecan en x = 0y x = 1. En el intervalo [0, 1], x ≥ x². Por lo tanto, el área es:

∫ ₀ ¹( x - x²) dx = [ x²/2 - x³/3] ₀ ¹= (1/2 - 1/3) = 1/6

El área de la región encerrada es 1/6 unidades cuadradas.

Consideraciones adicionales

Existen situaciones donde el cálculo del área de la región encerrada requiere técnicas más avanzadas. Por ejemplo:

• Funciones con valores negativos: Si la función toma valores negativos en el intervalo, el valor absoluto de la integral debe tomarse para obtener el área. Alternativamente, se puede encontrar el área entre la curva y el eje x en los intervalos donde la función es positiva y negativa por separado y luego se suman los valores absolutos.
• Regiones complejas: Para regiones con formas complejas o definidas por varias funciones, se puede dividir la región en subregiones más simples y calcular el área de cada subregión por separado, sumando luego los resultados. La aplicación de la geometría analítica puede ayudar en la definición de los intervalos de integración y las funciones a integrar para cada subregión.
• Integración numérica: Para funciones que no tienen una antiderivada elemental, se puede recurrir a métodos numéricos de integración, como la regla del trapecio o la regla de Simpson, para aproximar el valor de la integral y, por lo tanto, el área de la región encerrada .

Tabla Comparativa de Métodos

El cálculo del área de la región encerrada por una gráfica es una herramienta poderosa con aplicaciones en diversas disciplinas. Comprender los diferentes métodos y sus aplicaciones permitirá abordar una amplia gama de problemas de cálculo de áreas, desde los más sencillos hasta los más complejos.