Cómo calcular la función de transferencia a partir de una gráfica

La función de transferencia es un concepto fundamental en el análisis de sistemas, ya sea eléctricos, mecánicos, o de cualquier otra naturaleza. Define la relación entre la entrada y la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI). Si bien existen métodos analíticos para obtener la función de transferencia a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema, a menudo se dispone de datos experimentales en forma de gráficas que representan la respuesta del sistema a una entrada específica. Este artículo detalla cómo obtener la función de transferencia a partir de estas gráficas.

Métodos para Calcular la Función de Transferencia a partir de una Gráfica

Existen diversos métodos para determinar la función de transferencia a partir de datos gráficos, la elección del método adecuado dependerá del tipo de gráfica disponible (respuesta escalón, respuesta impulso, respuesta en frecuencia, etc.) y de la complejidad del sistema.

A partir de la Respuesta al Impulso

La respuesta al impulso h(t) de un sistema LTI representa la salida del sistema cuando la entrada es un impulso unitario (una señal que dura un tiempo muy corto y tiene un área de 1). La función de transferencia H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso:

H(s) = L{h(t)}

Si se tiene una gráfica de la respuesta al impulso, se puede obtener la función de transferencia mediante la aplicación numérica de la transformada de Laplace. Existen métodos numéricos para aproximar la transformada de Laplace a partir de datos discretos, como el método de integración numérica o la transformada Z.

A partir de la Respuesta al Escalón

La respuesta al escalón, y(t), es la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario (una señal que salta de 0 a 1 en t=0 y permanece en 1). La función de transferencia se puede obtener a partir de la derivada de la respuesta al escalón:

h(t) = dy(t)/dt

Una vez obtenida la respuesta al impulso, se procede como en el método anterior para calcular la transformada de Laplace y obtener la función de transferencia H(s).

La obtención de la derivada de la respuesta al escalón a partir de la gráfica puede ser susceptible a errores, especialmente si la gráfica no es muy precisa. En estos casos, la utilización de técnicas de suavizado de datos puede mejorar la precisión del resultado.

A partir de la Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia representa la relación entre la magnitud y la fase de la salida y la entrada del sistema para diferentes frecuencias. Si se dispone de una gráfica de la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode, por ejemplo), la función de transferencia se puede obtener identificando la ganancia y la fase en cada frecuencia.

La función de transferencia se puede expresar como: H(jω) = |H(jω)|ejφ(ω)

donde |H(jω)| es la magnitud y φ(ω) es la fase de la función de transferencia en la frecuencia ω. A partir de los datos de magnitud y fase, se puede aproximar la función de transferencia usando métodos de ajuste de curvas o identificando modelos matemáticos que se ajusten a los datos.

Consideraciones Importantes

El cálculo de la función de transferencia a partir de datos gráficos implica varias consideraciones:

• Precisión de los datos: La precisión de la función de transferencia obtenida depende directamente de la calidad de los datos gráficos. Datos ruidosos o poco precisos pueden llevar a resultados erróneos.
• Rango de frecuencias: Al trabajar con la respuesta en frecuencia, es crucial considerar el rango de frecuencias analizado. Un rango de frecuencias insuficiente puede llevar a una representación incompleta de la función de transferencia.
• Métodos de interpolación y ajuste de curvas: Para obtener una función de transferencia continua a partir de datos discretos, se suelen usar técnicas de interpolación y ajuste de curvas. La elección del método apropiado depende de las características de los datos y de la precisión requerida.
• Sistemas de orden superior: Para sistemas de orden superior, la identificación de la función de transferencia a partir de datos gráficos puede ser un proceso complejo y requerir técnicas de análisis más sofisticadas.
• Ruido en los datos: La presencia de ruido en los datos experimentales puede afectar significativamente la precisión de la estimación de la función de transferencia. Técnicas de filtrado de señal pueden ser necesarias para reducir el impacto del ruido.

Ejemplos

Ejemplo 1: Respuesta al Escalón

Supongamos que se tiene una gráfica de la respuesta al escalón de un sistema de primer orden. La respuesta al escalón tiene la forma de una exponencial creciente que se aproxima asintóticamente a un valor final. A partir de la gráfica, se puede estimar la constante de tiempo τ, que se relaciona con la función de transferencia como:

H(s) = K/(τs + 1)

donde K es la ganancia estática del sistema. La constante de tiempo τ se puede estimar a partir del tiempo que tarda la respuesta en alcanzar aproximadamente el 62% de su valor final.

Ejemplo 2: Respuesta en Frecuencia

Imaginemos que se tiene un diagrama de Bode (gráfico de la magnitud y fase en función de la frecuencia) de un sistema. Observando el diagrama de Bode, se pueden identificar los puntos de ruptura, la ganancia estática y la pendiente de las diferentes regiones de la gráfica. Esta información permite aproximar la función de transferencia del sistema.

Consultas Habituales

• ¿Cómo obtener la función de transferencia de un sistema a partir de una gráfica de respuesta en frecuencia?
• ¿Qué métodos existen para estimar la función de transferencia a partir de datos experimentales?
• ¿Cómo afecta el ruido en los datos a la precisión de la estimación de la función de transferencia?
• ¿Qué técnicas se pueden utilizar para mejorar la precisión de la estimación de la función de transferencia a partir de datos gráficos?
• ¿Cómo se puede aplicar la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia a partir de la respuesta al impulso?

Tabla Comparativa de Métodos

La obtención de la función de transferencia a partir de una gráfica requiere un conocimiento profundo de los principios del análisis de sistemas, una adecuada elección del método de análisis, y el uso de herramientas computacionales para el procesamiento de datos y el ajuste de curvas. La precisión del resultado dependerá de la calidad de los datos y de la aplicación correcta de las técnicas de análisis. Es importante recordar que estos métodos son aproximaciones y pueden no proporcionar una representación exacta de la función de transferencia, especialmente para sistemas complejos o con datos ruidosos. En tales casos, pueden ser necesarios métodos más sofisticados de identificación de sistemas.