15/04/2017
La pendiente de una recta es una medida de su inclinación. Una pendiente positiva indica que la recta sube de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica que la recta baja de izquierda a derecha. Una pendiente de cero indica una recta horizontal, y una pendiente indefinida indica una recta vertical.
Existen varias maneras de calcular la pendiente de una recta graficada, dependiendo de la información que se tenga disponible. A continuación, se explican los métodos más comunes:
Método 1: Usando dos puntos de la recta
Si se conocen las coordenadas de dos puntos cualesquiera que pertenecen a la recta, se puede calcular la pendiente utilizando la siguiente fórmula:
Pen = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Donde:
- (x1, y1) son las coordenadas del primer punto.
- (x2, y2) son las coordenadas del segundo punto.
- Pen representa la pendiente.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos dos puntos en la recta: A(2, 4) y B(6, 10).
Para calcular la pendiente, sustituimos los valores en la fórmula:
Pen = (10 - 4) / (6 - 2) = 6 / 4 = 3/2 = 5
Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es
Consideraciones importantes:
- El orden en que se seleccionan los puntos no afecta el resultado final, siempre y cuando se mantengan consistentes las coordenadas x e y.
- Si x2 - x1 = 0, la pendiente es indefinida, lo que indica que la recta es vertical.
Método 2: Usando la intersección con el eje Y y otro punto
Si se conoce la intersección de la recta con el eje Y (el punto donde la recta cruza el eje Y, donde x=0) y otro punto cualquiera de la recta, se puede calcular la pendiente de una forma alternativa. La intersección con el eje Y se representa como (0, b), donde b es la ordenada al origen.
En este caso, la fórmula de la pendiente se simplifica a:
Pen = (y - b) / x
Donde:
- (x, y) son las coordenadas del segundo punto.
- b es la ordenada al origen (la coordenada y de la intersección con el eje Y).
Ejemplo:
Supongamos que la recta intersecta al eje Y en el punto (0, 2) y pasa por el punto (4, 6).
La pendiente se calcula como:
Pen = (6 - 2) / 4 = 4 / 4 = 1
La pendiente de la recta es
Método 3: Usando el método gráfico (aproximación)
Si solo se dispone de la gráfica de la recta, se puede aproximar la pendiente mediante la observación visual. Se seleccionan dos puntos claramente visibles en la recta. Se traza un triángulo rectángulo utilizando estos dos puntos como vértices, y se mide la distancia vertical (cambio en y) y la distancia horizontal (cambio en x). La pendiente es el cociente entre la distancia vertical y la distancia horizontal.
Este método proporciona un valor aproximado de la pendiente, ya que depende de la precisión de la lectura de las coordenadas en la gráfica. Es útil para obtener una idea general de la inclinación de la recta, pero no se recomienda para cálculos precisos.
Tabla comparativa de métodos:
| Método | Requisitos | Precisión | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Dos puntos | Coordenadas de dos puntos | Alta | (y2 - y1) / (x2 - x1) |
| Intersección con el eje Y y otro punto | Intersección con el eje Y y coordenadas de un punto | Alta | (y - b) / x |
| Método gráfico | Gráfica de la recta | Baja | (cambio en y) / (cambio en x) |
Consultas habituales:
- ¿Qué significa una pendiente positiva? Significa que la recta sube de izquierda a derecha.
- ¿Qué significa una pendiente negativa? Significa que la recta baja de izquierda a derecha.
- ¿Qué significa una pendiente de cero? Significa que la recta es horizontal.
- ¿Qué significa una pendiente indefinida? Significa que la recta es vertical.
- ¿Cómo se representa la pendiente en una ecuación de la recta? La pendiente se representa con la letra 'm' en la ecuación y = mx + b.
Ejemplos adicionales:
Ejemplo 1: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4).
Pen = (4 - 1) / (2 - (-3)) = 3 / 5 = 0.6
Ejemplo 2: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 5) y (1, -2).
Pen = (-2 - 5) / (1 - 1) = -7 / 0 = Indefinido (recta vertical)
Ejemplo 3: La recta intercepta al eje Y en (0, -1) y pasa por el punto (3, 2). Calcular la pendiente.
Pen = (2 - (-1)) / 3 = 3 / 3 = 1
El cálculo de la pendiente de una recta graficada es un proceso sencillo que se puede realizar de diferentes maneras, dependiendo de la información disponible. Dominar estos métodos es fundamental para comprender el comportamiento y las características de las rectas en geometría analítica y en otras áreas de las matemáticas y las ciencias.