30/06/2017
La resolución de sistemas de ecuaciones es una herramienta fundamental en diversas áreas, desde la ingeniería hasta la economía. Uno de los métodos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método, a diferencia de la sustitución o eliminación, se basa en despejar una misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes. En este artículo, exploraremos en detalle cómo funciona este método y cómo se puede utilizar para graficar la solución del sistema de ecuaciones.
¿Qué es el Método de Igualación?
El método de igualación es un procedimiento algebraico que permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Consiste en despejar una misma variable (ya sea 'x' o 'y') en ambas ecuaciones del sistema y luego igualar las expresiones resultantes. De esta forma, se obtiene una ecuación con una sola variable, la cual se puede resolver fácilmente. Una vez encontrada el valor de una variable, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable.
Pasos para Aplicar el Método de Igualación
- Ordenar las ecuaciones: Asegurarse de que las ecuaciones estén escritas en la forma estándar (ax + by = c).
- Despejar una variable: Seleccionar una variable (x o y) y despejarla en ambas ecuaciones. Es importante despejar la misma variable en ambas.
- Igualar las expresiones: Una vez que se ha despejado la misma variable en ambas ecuaciones, se igualan las expresiones resultantes. Esto nos lleva a una ecuación con una sola variable.
- Resolver la ecuación: Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable.
- Sustituir y resolver: Sustituir el valor encontrado en el paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales (ya despejadas) para encontrar el valor de la otra variable.
- Verificar la solución: Sustituir ambos valores (x e y) en las ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta.
Ejemplo Práctico: Resolver un Sistema de Ecuaciones por Igualación
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + y = 7
x - y = 2
Paso 1: Despejar la variable 'y' en ambas ecuaciones:
En la primera ecuación: y = 7 - 2x
En la segunda ecuación: y = x - 2
Paso 2: Igualar las expresiones:
7 - 2x = x - 2
Paso 3: Resolver la ecuación:
3x = 9
x = 3
Paso 4: Sustituir y resolver:
Sustituimos x = 3 en cualquiera de las ecuaciones despejadas (usaremos la primera):
y = 7 - 2(3)
y = 7 - 6
y = 1
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = 3 e y =
Graficando la Solución
Para graficar la solución, primero representamos cada ecuación en un plano cartesiano. Cada ecuación representa una recta. El punto donde ambas rectas se intersecan corresponde a la solución del sistema de ecuaciones. En este caso, la solución (3, 1) representa el punto de intersección de las dos rectas.
Pasos para Graficar:
- Graficar la primera ecuación: Para la ecuación 2x + y = 7, podemos encontrar dos puntos que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, si x = 0, y = 7; y si x = 1, y = Estos puntos se unen para formar la recta.
- Graficar la segunda ecuación: Para la ecuación x - y = 2, podemos encontrar dos puntos. Por ejemplo, si x = 0, y = -2; y si x = 2, y = 0. Estos puntos se unen para formar la recta.
- Identificar el punto de intersección: El punto donde se intersecan ambas rectas es la solución gráfica del sistema de ecuaciones. En este ejemplo, el punto de intersección es (3, 1), lo cual coincide con la solución obtenida algebraicamente.
Tabla Comparativa de Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones
| Método | Descripción | Ventajas | Desventajas |
|---|---|---|---|
| Igualación | Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las expresiones. | Relativamente sencillo para sistemas 2x | Puede ser complicado para sistemas con más de dos ecuaciones o con coeficientes complejos. |
| Sustitución | Despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra. | Fácil de entender y aplicar en sistemas 2x | Puede ser tedioso para sistemas con expresiones complejas. |
| Eliminación | Multiplicar las ecuaciones por constantes para eliminar una variable al sumarlas. | Eficiente para sistemas con coeficientes sencillos. | Puede ser complejo para sistemas con coeficientes grandes o fraccionarios. |
Consultas Habituales sobre el Método de Igualación
- ¿Cuándo es más conveniente usar el método de igualación? El método de igualación es especialmente útil cuando es fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
- ¿Qué hacer si al igualar las ecuaciones se obtiene una contradicción? Si se obtiene una contradicción (por ejemplo, 2 = 3), significa que el sistema de ecuaciones no tiene solución.
- ¿Qué hacer si al igualar las ecuaciones se obtiene una identidad? Si se obtiene una identidad (por ejemplo, 0 = 0), significa que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.
- ¿Se puede aplicar este método a sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas? Sí, pero se vuelve más complejo a medida que aumenta el número de incógnitas.
En resumen, el método de igualación es una herramienta eficaz para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Su comprensión y aplicación correcta permite no solo encontrar la solución algebraica, sino también representarla gráficamente en un plano cartesiano, visualizando la intersección de las rectas que representan cada ecuación.