Cómo hallar la función dado su gráfica o puntos (polinomial)

Encontrar la función polinomial que representa un gráfico o un conjunto de puntos es una tarea fundamental en álgebra y cálculo. Este proceso implica la reconstrucción de la ecuación a partir de información visual o numérica. Existen diferentes métodos, dependiendo de la información disponible y del grado del polinomio.

Identificación del Grado del Polinomio

El primer paso crucial es determinar el grado del polinomio. El grado indica la potencia más alta de la variable xen la ecuación. Podemos inferirlo observando el gráfico:

• Polinomio de grado 0 (Constante): La gráfica es una línea horizontal.
• Polinomio de grado 1 (Lineal): La gráfica es una línea recta con pendiente no nula.
• Polinomio de grado 2 (Cuadrático): La gráfica es una parábola (forma de U).
• Polinomio de grado 3 (Cúbico): La gráfica puede tener hasta dos puntos de inflexión.
• Polinomio de grado n: Un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n-1 puntos de inflexión y n intersecciones con el eje x (raíces).

Observar el comportamiento de la gráfica en los extremos (cuando xtiende a infinito positivo o negativo) también ayuda a determinar el grado y el signo del coeficiente principal. Si la gráfica tiende a infinito positivo en ambos extremos, el coeficiente principal es positivo y el grado es par. Si tiende a infinito positivo en un extremo y a infinito negativo en el otro, el grado es impar.

Utilizando las Intersecciones con el Eje x (Raíces)

Las intersecciones con el eje x representan las raíces del polinomio, es decir, los valores de xpara los cuales f(x) = 0. Si conocemos estas raíces, podemos construir factores lineales para el polinomio. Por ejemplo, si las raíces son r1, r2, ..., rn, entonces el polinomio tendrá factores de la forma ( x - r1), ( x - r2), ..., ( x - rn).

Ejemplo: Si un polinomio tiene raíces en x = 1, x = -2y x = 3, entonces parte de su ecuación será ( x - 1)( x + 2)( x - 3).

Tener en cuenta la multiplicidad de las raíces. Si una raíz se repite, el factor correspondiente aparece elevado a una potencia. Por ejemplo, si x = 2es una raíz con multiplicidad 2, el factor sería ( x - 2) ².

Determinando el Coeficiente Principal

Una vez que hemos encontrado los factores, necesitamos determinar el coeficiente principal. Este coeficiente escala la función verticalmente. Podemos encontrarlo utilizando un punto adicional en el gráfico que no sea una intersección con el eje x. Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación parcial del polinomio y resolvemos para el coeficiente principal.

Ejemplo: Supongamos que tenemos la ecuación parcial ( x - 1)( x + 2)( x - 3) y un punto adicional (0, 6) en el gráfico. Sustituyendo x = 0e y = 6, obtenemos:

6 = a(0 - 1)(0 + 2)(0 - 3)

6 = 6 a

a= 1

Por lo tanto, la ecuación completa del polinomio es ( x - 1)( x + 2)( x - 3).

Utilizando Puntos Adicionales

Si no conocemos todas las intersecciones con el eje x, podemos utilizar un sistema de ecuaciones para determinar los coeficientes del polinomio. Para un polinomio de grado n, necesitamos al menos n+1puntos. Sustituimos las coordenadas de cada punto en la ecuación general del polinomio, obteniendo un sistema de n+1ecuaciones con n+1incógnitas (los coeficientes).

Este sistema se puede resolver utilizando métodos como eliminación gaussiana o la regla de Cramer. Para polinomios de grado superior, es recomendable usar software matemático para resolver el sistema.

Utilizando Diferencias Divididas (Método de Newton)

El método de diferencias divididas de Newton es una técnica numérica para construir un polinomio interpolante a partir de un conjunto de puntos. Este método es particularmente útil cuando no conocemos la forma general del polinomio o cuando la función no está definida analíticamente. La técnica se basa en calcular las diferencias divididas de los datos y construir el polinomio a partir de estas diferencias.

Consideraciones Adicionales

Multiplicidad de las raíces: Una raíz con multiplicidad mindica que la gráfica "toca" el eje x en ese punto en lugar de cruzarlo. Esto se refleja en la ecuación con un factor elevado a la potencia m.

Puntos de inflexión: Los puntos de inflexión, donde la concavidad de la gráfica cambia, pueden proporcionar información adicional sobre el grado y la forma del polinomio.

Software Matemático: Para polinomios de grado alto o para resolver sistemas de ecuaciones complejos, el uso de software matemático como MATLAB, Mathematica o incluso calculadoras gráficas es altamente recomendable. Estos programas facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones y la representación gráfica de los polinomios.

Tabla Comparativa de Métodos

Consultas Habituales

• ¿Cómo hallar la ecuación de una parábola dada su gráfica? Identifica el vértice y un punto adicional para hallar la ecuación en forma vértice: y = a(x - h) ² + k , donde ( h, k ) es el vértice.
• ¿Cómo encontrar la función de un polinomio a partir de sus puntos? Utiliza el método de sistema de ecuaciones o el método de diferencias divididas.
• ¿Qué hacer si no conozco todas las raíces? Utiliza el método de sistema de ecuaciones con al menos n+1 puntos.

Encontrar la función polinomial a partir de su gráfica o puntos requiere un enfoque sistemático y la selección del método apropiado dependiendo de la información disponible. La comprensión del grado del polinomio, las intersecciones con el eje x y el uso de puntos adicionales son elementos clave para este proceso. Para polinomios de grado superior, la ayuda de software matemático puede ser indispensable.