14/08/2015
Las funciones lineales son la base del álgebra y se representan gráficamente como líneas rectas. Su forma general es f(x) = mx + b, donde 'm' representa la pendiente o razón de cambio y 'b' representa la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Encontrar la función lineal a partir de una gráfica implica determinar estos dos valores, 'm' y 'b'. A continuación, se detallan los métodos para hacerlo:
Determinar la ordenada al origen (b)
Este es el paso más sencillo. La ordenada al origen es el valor de 'y' cuando 'x' es igual a 0. Observa el punto donde la recta interseca al eje 'y'. La coordenada 'y' de ese punto es el valor de 'b'.
Ejemplo: Si la recta corta al eje 'y' en el punto (0, 3), entonces b =
Determinar la pendiente (m)
La pendiente 'm' representa la inclinación de la recta. Se calcula como la razón de cambio entre el desplazamiento vertical (cambio en 'y') y el desplazamiento horizontal (cambio en 'x') entre dos puntos cualesquiera de la recta. La fórmula para calcular la pendiente es:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Donde (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos cualesquiera que se encuentren sobre la recta. Es importante elegir puntos que sean claramente visibles en la gráfica para obtener una mayor precisión.
Ejemplo: Si los puntos (1, 2) y (3, 6) se encuentran sobre la recta, entonces:
m = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2
La pendiente es
Escribir la ecuación de la función lineal
Una vez que se han determinado los valores de 'm' y 'b', se puede escribir la ecuación de la función lineal sustituyendo estos valores en la fórmula general:
f(x) = mx + b
Ejemplo: Si m = 2 y b = 3, la función lineal es:
f(x) = 2x + 3
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1:
Supongamos que una gráfica muestra una recta que pasa por los puntos (2,1) y (4,5). Para hallar la función lineal:
- Encontrar b: La gráfica no muestra directamente el punto de corte con el eje Y, por lo que debemos calcular la pendiente primero.
- Encontrar m: m = (5 - 1) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2
- Escribir la ecuación: Utilizando uno de los puntos, por ejemplo (2,1), y la pendiente m=2, sustituimos en la ecuación de la recta: 1 = 2(2) + b. Resolviendo para b, obtenemos b = 1 - 4 = -Por lo tanto, la función lineal es f(x) = 2x - 3 .
Ejemplo 2: Recta Horizontal
Una recta horizontal tiene una pendiente de 0 (m = 0). Su ecuación es simplemente f(x) = b, donde 'b' es el valor de 'y' en cualquier punto de la recta.
Ejemplo 3: Recta Vertical
Una recta vertical no es una función lineal porque no pasa la prueba de la línea vertical. No se puede expresar en la forma f(x) = mx + b. Su ecuación es de la forma x = c, donde 'c' es el valor de 'x' en cualquier punto de la recta.
Tabla comparativa de métodos para hallar la función lineal
| Método | Descripción | Ventajas | Desventajas |
|---|---|---|---|
| Usando dos puntos | Calcular la pendiente y la ordenada al origen a partir de dos puntos de la recta. | Simple y directo, aplicable a cualquier recta. | Requiere identificar dos puntos precisos en la gráfica. |
| Usando la intersección con los ejes | Determinar la ordenada al origen directamente de la gráfica y calcular la pendiente usando un punto adicional. | Fácil si la gráfica muestra claramente las intersecciones. | No aplicable si la recta no interseca ambos ejes. |
| Usando la pendiente y un punto | Se conoce la pendiente y un punto de la recta. | Útil si se conoce la pendiente por otros medios. | Requiere conocer la pendiente previamente. |
Consultas habituales
- ¿Cómo hallar la función lineal si solo tengo un punto? No es posible hallar la función lineal con un solo punto. Se necesita al menos un punto y la pendiente, o dos puntos.
- ¿Qué pasa si la recta es paralela al eje x? La pendiente es 0 y la función es de la forma f(x) = b, donde b es el valor de y en la recta.
- ¿Qué pasa si la recta es paralela al eje y? No es una función lineal, su ecuación es de la forma x = c, donde c es el valor de x en la recta.
Hallar la función lineal de una gráfica es un proceso sencillo que implica determinar la pendiente y la ordenada al origen. Utilizando la fórmula f(x) = mx + b y los métodos descritos anteriormente, se puede determinar la ecuación de cualquier función lineal representada gráficamente. Practicar con diferentes ejemplos ayudará a dominar este concepto fundamental del álgebra.