Cómo saber si una función es derivable en una gráfica

La derivabilidad de una función en un punto es un concepto fundamental en el cálculo diferencial. Se relaciona estrechamente con la continuidad, pero no son equivalentes. Una función puede ser continua en un punto, pero no derivable; sin embargo, si es derivable en un punto, necesariamente es continua.

La derivada representa la razón de cambio instantánea de una función en un punto dado. Geométricamente, se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Si esta recta tangente existe y es única, la función es derivable en ese punto.

Continuidad y Derivabilidad

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en ese punto. La continuidad implica que no hay saltos ni discontinuidades en la gráfica. Sin embargo, la continuidad por sí sola no garantiza la derivabilidad.

Consideremos la función valor absoluto, f(x) = |x|. Esta función es continua en x = 0, pero no es derivable en ese punto. En x = 0, la gráfica tiene una cúspide o un punto anguloso, lo que impide la existencia de una única recta tangente.

En resumen: Continuidad es necesaria pero no suficiente para la derivabilidad.

Derivadas Laterales

Para analizar la derivabilidad en un punto, a menudo resulta útil considerar las derivadas laterales. Estas son los límites del cociente incremental cuando nos acercamos al punto desde la izquierda (derivada por la izquierda) y desde la derecha (derivada por la derecha).

Una función es derivable en un punto si:

• Es continua en el punto.
• Existen las derivadas laterales en el punto.
• Las derivadas laterales son iguales.

Si las derivadas laterales existen pero son diferentes, la función tiene una cúspide o punto anguloso en ese punto y no es derivable.

Identificación gráfica de la derivabilidad

Observando la gráfica de una función, podemos identificar si es derivable en un punto buscando las siguientes características:

• Continuidad: La gráfica debe ser una curva continua sin saltos ni interrupciones.
• Suavidad: La gráfica debe ser suave, sin picos, ángulos o puntos angulosos. La ausencia de estas características indica la existencia de una única recta tangente en cada punto.
• Tangente vertical: Si la recta tangente es vertical en un punto, la función no es derivable en ese punto.

En los puntos donde la función no es continua, definitivamente no es derivable. Sin embargo, la continuidad no garantiza la derivabilidad; debe existir una única recta tangente en el punto.

Funciones a trozos

Para funciones definidas a trozos, el análisis de la derivabilidad requiere un estudio cuidadoso en cada punto de cambio de definición. En estos puntos, se debe verificar la continuidad y la igualdad de las derivadas laterales. Si la función es continua en un punto pero las derivadas laterales son diferentes, entonces la función no será derivable en ese punto.

Puntos donde una función no es derivable

Las funciones pueden no ser derivables en varios tipos de puntos:

• Puntos de discontinuidad: En los puntos donde la función no es continua (saltos, discontinuidades esenciales o evitables).
• Puntos angulosos o cúspides: Puntos donde la gráfica presenta un pico o ángulo agudo.
• Puntos donde la recta tangente es vertical: En estos puntos, la pendiente de la recta tangente es infinita.
• Puntos con oscilaciones infinitas: Si la función oscila infinitamente cerca de un punto, puede no ser derivable.

Ejemplos

Ejemplo 1: f(x) = x²

Esta función es continua y derivable en todos los puntos. Su gráfica es una parábola suave.

Ejemplo 2: f(x) = |x|

Esta función es continua en x = 0, pero no es derivable en este punto. La gráfica tiene un punto anguloso en x = 0.

Ejemplo 3: f(x) = 1/x

Esta función es continua y derivable para todo x ≠ 0. Tiene una asíntota vertical en x = 0, donde no es derivable.

Conclusión

Determinar la derivabilidad de una función a partir de su gráfica requiere un análisis cuidadoso de la continuidad y la suavidad de la curva. La existencia de una única recta tangente en cada punto es la clave para la derivabilidad. La verificación de la continuidad y la igualdad de las derivadas laterales en puntos sospechosos proporciona un método preciso para determinar la derivabilidad de una función.

Consultas habituales

Las consultas habituales suelen estar relacionadas con la diferenciación entre continuidad y derivabilidad, la interpretación geométrica de la derivada, y el análisis de la derivabilidad en puntos específicos de funciones particulares, especialmente en funciones a trozos.