08/01/2015
En matemáticas, una función biyectiva, también conocida como biyección o correspondencia uno a uno, es una función que asigna cada elemento de su dominio a un único elemento de su codominio, y viceversa. Es decir, es a la vez inyectiva (uno a uno) y suryectiva (sobre). Determinar si una gráfica representa una función biyectiva requiere comprender estos conceptos y aplicarlos al análisis visual de la gráfica.
Inyectividad (uno a uno)
Una función es inyectiva si cada elemento del codominio está asociado con, como máximo, un elemento del dominio. Gráficamente, esto se traduce en la prueba de la línea horizontal : si cualquier línea horizontal interseca la gráfica en, como máximo, un punto, entonces la función es inyectiva. Si una línea horizontal interseca la gráfica en más de un punto, la función no es inyectiva.
Ejemplo de función inyectiva:
Una línea recta con pendiente no nula es un ejemplo de función inyectiva. Cada valor de 'x' se corresponde con un único valor de 'y'.
Suryectividad (sobre)
Una función es suryectiva si cada elemento del codominio está asociado con al menos un elemento del dominio. Visualmente, esto implica que la gráfica debe cubrir todo el rango del codominio. Si existen valores en el codominio que no tienen una imagen en el dominio, la función no es suryectiva.
Ejemplo de función suryectiva:
Una parábola que se extiende indefinidamente en ambas direcciones hacia arriba o hacia abajo es un ejemplo de función suryectiva, siempre y cuando el codominio sea el conjunto de los números reales.
Biyectividad
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva. Esto significa que cada elemento del dominio se asocia con un único elemento del codominio, y cada elemento del codominio se asocia con un único elemento del dominio. Gráficamente, esto se verifica con la prueba de la línea horizontal (inyectividad) y la comprobación de que la gráfica cubre completamente el rango del codominio (suryectividad).
Ejemplo de función biyectiva:
La función f(x) = x es un ejemplo de función biyectiva. Es una línea recta que pasa por el origen con pendiente 1, cumpliendo tanto la inyectividad como la suryectividad.
Métodos para determinar la biyectividad a partir de la gráfica
- Prueba de la línea horizontal: Dibuja líneas horizontales a través de la gráfica. Si cada línea interseca la gráfica en un solo punto, la función es inyectiva.
- Análisis del rango: Observa si la gráfica cubre completamente el rango especificado del codominio. Si lo hace, la función es suryectiva.
- Combinación de inyectividad y suryectividad: Si la función pasa tanto la prueba de la línea horizontal como cubre completamente el rango del codominio, entonces es biyectiva.
Consultas habituales
| Pregunta | Respuesta |
|---|---|
| ¿Cómo distingo una función inyectiva de una suryectiva? | Una función inyectiva pasa la prueba de la línea horizontal. Una función suryectiva cubre todo el rango del codominio. |
| ¿Es posible que una función sea inyectiva pero no suryectiva? | Sí. Por ejemplo, f(x) = x² con dominio en los reales positivos y codominio en los reales no negativos es inyectiva pero no suryectiva. |
| ¿Puede una función ser suryectiva pero no inyectiva? | Sí. Por ejemplo, f(x) = x² con dominio en los reales y codominio en los reales no negativos es suryectiva pero no inyectiva. |
| ¿Qué implica que una función sea biyectiva? | Implica que existe una función inversa única. |
Tabla comparativa
| Tipo de función | Prueba gráfica | Descripción |
|---|---|---|
| Inyectiva | Prueba de la línea horizontal: máximo un punto de intersección | Cada elemento del dominio se mapea a un único elemento del codominio. |
| Suryectiva | Cubre todo el rango del codominio. | Cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. |
| Biyectiva | Pasa la prueba de la línea horizontal y cubre todo el rango del codominio. | Es inyectiva y suryectiva. |
Determinar si una gráfica representa una función biyectiva requiere un análisis cuidadoso de su comportamiento para comprobar simultáneamente su inyectividad y suryectividad. La prueba de la línea horizontal y la observación del rango son herramientas esenciales para este proceso.
Recuerda que el dominio y el codominio son cruciales para determinar la biyectividad. Una función puede ser biyectiva para un dominio y codominio específicos, pero no para otros.