07/02/2018
Las funciones exponenciales, representadas generalmente como y = a x(donde 'a' es una constante positiva y diferente de 1), presentan un comportamiento característico que las distingue de otras funciones. Comprender cómo se desplaza su gráfica es fundamental para analizar su comportamiento y aplicaciones en diversos campos.
Desplazamiento Horizontal
Un desplazamiento horizontal de la gráfica de una función exponencial se produce cuando modificamos el argumento de la función, es decir, el exponente 'x'. Consideremos la función base y = a x.
- Desplazamiento hacia la derecha: Si reemplazamos 'x' por 'x - h', donde 'h' es una constante positiva, la gráfica se desplaza 'h' unidades hacia la derecha. La nueva función sería y = a (x - h) .
- Desplazamiento hacia la izquierda: Si reemplazamos 'x' por 'x + h', donde 'h' es una constante positiva, la gráfica se desplaza 'h' unidades hacia la izquierda. La nueva función sería y = a (x + h) .
Es importante notar que el desplazamiento horizontal afecta la posición de la asíntota horizontal (la recta y = 0), la cual permanece inalterable en su valor pero cambia su posición relativa a la gráfica desplazada. La función siempre se acerca a la asíntota pero nunca la toca.
Desplazamiento Vertical
Un desplazamiento vertical se logra sumando o restando una constante 'k' a la función exponencial. Consideremos nuevamente la función base y = a x.
- Desplazamiento hacia arriba: Sumando 'k' a la función, obtenemos y = a x + k. La gráfica se desplaza 'k' unidades hacia arriba. Si k es positivo, el desplazamiento es hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
- Desplazamiento hacia abajo: Restando 'k' a la función, obtenemos y = a x - k. La gráfica se desplaza 'k' unidades hacia abajo. Este desplazamiento afecta la posición de la asíntota horizontal, que se traslada verticalmente 'k' unidades. En este caso, la asíntota horizontal pasa a ser y = -k.
El desplazamiento vertical no altera la forma de la curva, solo su posición en el plano cartesiano. La asíntota horizontal se desplaza junto con la gráfica.
Efecto de la base 'a'
La base 'a' de la función exponencial y = a xjuega un papel crucial en la forma de la gráfica.
- a > 1: Si la base 'a' es mayor que 1, la función es creciente. La gráfica aumenta exponencialmente a medida que 'x' aumenta y se acerca asintóticamente al eje x (y = 0) cuando 'x' tiende a menos infinito.
- 0 < a < 1: Si la base 'a' está entre 0 y 1, la función es decreciente. La gráfica disminuye exponencialmente a medida que 'x' aumenta y se acerca asintóticamente al eje x (y = 0) cuando 'x' tiende a infinito.
Cambios en la base 'a' no representan un desplazamiento en sí, sino una transformación que altera la inclinación y el sentido de crecimiento o decrecimiento de la gráfica. Una base mayor que 1 indica un crecimiento rápido, mientras que una base entre 0 y 1 implica un decrecimiento rápido.
Combinación de Desplazamientos
Es posible combinar desplazamientos horizontales y verticales. Por ejemplo, la función y = a (x - h)+ k representa una función exponencial desplazada 'h' unidades horizontalmente y 'k' unidades verticalmente. El orden de las operaciones es importante: primero se realiza el desplazamiento horizontal y luego el vertical.
Ejemplos
Consideremos la función y = 2 x.
- y = 2 (x - 3) : Desplazamiento 3 unidades a la derecha.
- y = 2 (x + 2) : Desplazamiento 2 unidades a la izquierda.
- y = 2 x + 5: Desplazamiento 5 unidades hacia arriba.
- y = 2 x - 1: Desplazamiento 1 unidad hacia abajo.
- y = 2 (x + 1) - 3: Desplazamiento 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.
Tabla Comparativa de Desplazamientos
| Función | Desplazamiento Horizontal | Desplazamiento Vertical |
|---|---|---|
| y = a (x - h) | h unidades a la derecha (h > 0) | Ninguno |
| y = a (x + h) | h unidades a la izquierda (h > 0) | Ninguno |
| y = a x + k | Ninguno | k unidades hacia arriba (k > 0) o hacia abajo (k < 0) |
| y = a (x - h) + k | h unidades a la derecha (h > 0) | k unidades hacia arriba (k > 0) o hacia abajo (k < 0) |
Consultas Habituales
Algunas consultas habituales sobre el desplazamiento de gráficas exponenciales son:
- ¿Cómo identifico el desplazamiento en una función exponencial dada? Observando la ecuación, identifica los términos que se suman o restan al exponente (desplazamiento horizontal) y los que se suman o restan a la función completa (desplazamiento vertical).
- ¿Qué sucede con la asíntota horizontal al desplazar la gráfica? La asíntota horizontal se desplaza verticalmente en la misma cantidad que el desplazamiento vertical de la gráfica. En un desplazamiento horizontal, la asíntota horizontal permanece en y=0, pero su posición relativa a la gráfica cambia.
- ¿Cómo puedo graficar una función exponencial desplazada? Puedes utilizar software de graficación o métodos gráficos manuales, considerando la función base y aplicando los desplazamientos horizontal y vertical correspondientes.
Comprender el comportamiento de las funciones exponenciales y la forma en que sus gráficas se desplazan es esencial para su aplicación en diversos modelos matemáticos, incluyendo el crecimiento y decrecimiento exponencial, fenómenos naturales, finanzas y muchos otros campos.
En resumen, dominar el desplazamiento de gráficas exponenciales implica comprender cómo las constantes sumadas o restadas al exponente y a la función en su conjunto afectan su posición en el plano cartesiano, sin alterar su forma intrínseca (excepto por los cambios en la base 'a').