22/09/2022
Las funciones con denominador x, también conocidas como funciones racionales de la forma f(x) = 1/x o variaciones de esta, presentan características únicas que las diferencian de otras funciones. Aprender a graficarlas implica comprender sus asíntotas, dominio y rango, y cómo se comporta la gráfica en diferentes intervalos.
Entendiendo la Función f(x) = 1/x
La función f(x) = 1/x es un ejemplo fundamental. Es una función hiperbólica, lo que significa que su gráfica se asemeja a una hipérbola. Observemos sus propiedades clave:
- Asíntotas: Esta función posee dos asíntotas: una asíntota vertical en x = 0 (el eje y) y una asíntota horizontal en y = 0 (el eje x). Esto significa que la gráfica se aproxima infinitamente a estos ejes sin nunca tocarlos.
- Dominio: El dominio de la función son todos los números reales excepto x = 0. Se escribe como (-∞, 0) U (0, ∞).
- Rango: El rango de la función son todos los números reales excepto y = 0. Se escribe como (-∞, 0) U (0, ∞).
- Comportamiento: Para valores de x positivos, f(x) es positiva y decrece a medida que x aumenta. Para valores de x negativos, f(x) es negativa y crece a medida que x disminuye.
Graficando f(x) = 1/x
Para graficar f(x) = 1/x, podemos empezar trazando las asíntotas. Luego, podemos encontrar algunos puntos clave:
| x | f(x) = 1/x |
|---|---|
| -2 | -0.5 |
| -1 | -1 |
| -0.5 | -2 |
| 0.5 | 2 |
| 1 | 1 |
| 2 | 0.5 |
Al unir estos puntos, teniendo en cuenta el comportamiento de la función y las asíntotas, obtenemos la gráfica característica de una hipérbola.
Funciones con Denominador x + c y x - c
Cuando el denominador es de la forma x + c o x - c, la gráfica se desplaza horizontalmente. Consideremos:
- f(x) = 1/(x + c): La gráfica se desplaza c unidades a la izquierda. La asíntota vertical se encuentra en x = -c.
- f(x) = 1/(x - c): La gráfica se desplaza c unidades a la derecha. La asíntota vertical se encuentra en x = c.
Funciones con Denominador ax + b
Las funciones de la forma f(x) = 1/(ax + b) presentan una asíntota vertical en x = -b/a. El valor de 'a' afecta la inclinación de la gráfica; valores mayores de |a| producen una gráfica más comprimida.
Funciones con Denominadores más Complejos
Cuando el denominador es un polinomio más complejo, la gráfica puede tener varias asíntotas verticales, dependiendo del número de raíces del denominador. Es importante encontrar las raíces del denominador para determinar la posición de las asíntotas verticales. También puede haber asíntotas oblicuas o inclinadas en algunos casos, lo que requiere un análisis más detallado, generalmente utilizando la división larga de polinomios.
Ejemplos y Casos Especiales
f(x) = 2/(x - 3)
En este caso, la asíntota vertical se encuentra en x = La gráfica es similar a f(x) = 1/x, pero estirada verticalmente por un factor de 2 y desplazada 3 unidades a la derecha.
f(x) = -1/(x + 2)
Aquí, la asíntota vertical está en x = -El signo negativo refleja la gráfica respecto al eje x.
f(x) = 1/(x² - 4)
El denominador se factoriza como (x - 2)(x + 2). Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales: x = 2 y x = -La gráfica tendrá dos ramas separadas por estas asíntotas.
f(x) = (x + 1)/(x - 1)
Esta función tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota horizontal en y = 1 (obtenida al dividir el numerador entre el denominador). En este caso, la gráfica se acerca a la asíntota horizontal a medida que x se aleja de 0.
Consultas Habituales
¿Cómo encontrar las asíntotas verticales? Se encuentran igualando el denominador a cero y resolviendo para x. Cada raíz del denominador representa una asíntota vertical.
¿Cómo encontrar las asíntotas horizontales? Depende del grado del numerador y el denominador. Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, la asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es la razón de los coeficientes principales.
¿Qué pasa si el numerador y el denominador tienen el mismo grado? En este caso, se obtiene una asíntota horizontal; la razón de los coeficientes principales del numerador y denominador es el valor de la asíntota horizontal.
¿Qué pasa si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador? No existe asíntota horizontal, pero puede existir una asíntota oblicua (inclinada), que se calcula mediante la división larga de polinomios.
Conclusión
Graficar funciones con denominador x o expresiones que involucran x requiere un análisis cuidadoso de las asíntotas, el dominio, y el rango. Comprender el comportamiento de la función en diferentes intervalos es crucial para obtener una representación precisa de la gráfica. La práctica con diferentes ejemplos permitirá una mayor familiaridad con estos tipos de funciones y sus características únicas.