Cómo graficar funciones parciales: continuas y discontinuas

Las funciones partidas, también conocidas como funciones definidas por tramos, son funciones que se definen de manera diferente en distintos intervalos de su dominio. La dificultad al graficarlas reside en entender cómo se comportan en los puntos de transición entre estos intervalos, lo que determina si la función es continua o discontinua en esos puntos. Aprender a graficar estas funciones correctamente es fundamental para comprender diversos conceptos matemáticos y sus aplicaciones en áreas como la física, la ingeniería y la economía.

Identificación de Continuidad y Discontinuidad

Antes de graficar, es crucial determinar si la función es continua o discontinua. Una función es continua en un punto si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz. Esto implica que el límite de la función en ese punto existe, es igual al valor de la función en ese punto, y la función está definida en ese punto. En términos matemáticos:

lim _x→c f(x) = f(c)

Si esta condición no se cumple en algún punto, la función es discontinua en ese punto. Existen varios tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad Evitable: El límite de la función existe en el punto, pero no coincide con el valor de la función en ese punto (o la función no está definida).
• Discontinuidad de Salto: El límite por la izquierda y por la derecha existen, pero son diferentes.
• Discontinuidad Esencial o Infinita: Al menos uno de los límites laterales tiende a infinito.

Pasos para Graficar Funciones Parciales

Para graficar una función parcial, sigue estos pasos:

1. Identifica los intervalos: Determina los intervalos en los que la función se define de manera diferente.
2. Grafica cada tramo: Grafica cada parte de la función en su respectivo intervalo. Para ello, puedes utilizar técnicas conocidas para graficar funciones, como encontrar las intersecciones con los ejes, determinar el comportamiento asintótico, etc.
3. Analiza la continuidad en los puntos de transición: Este es el paso más importante. Evalúa el límite de la función al acercarse a cada punto de transición desde la izquierda y desde la derecha. Compara estos límites con el valor de la función en ese punto. Si coinciden, la función es continua en ese punto; de lo contrario, es discontinua, y debes indicar el tipo de discontinuidad en la gráfica.
4. Une las gráficas: Une las gráficas de cada tramo teniendo en cuenta la continuidad o discontinuidad en los puntos de transición. Si hay una discontinuidad, se debe representar gráficamente de forma clara.

Ejemplos de Funciones Parciales

Ejemplo 1: Función Continua

Considera la función:

f(x) = { x + 1, si x < 2
x ²- 2, si x ≥ 2

En este caso, debemos analizar el punto de transición x = Calculamos los límites:

lim _{x→2 ^-} f(x) = lim _{x→2 ^-} (x + 1) = 3
lim _{x→2 ⁺} f(x) = lim _{x→2 ⁺} (x ²- 2) = 2

Como los límites laterales son diferentes, la función es discontinua en x = 2, presentando una discontinuidad de salto.

Ejemplo 2: Función Discontinua

Considera la función:

f(x) = { x ², si x ≠ 1
3, si x = 1

En este caso, el punto de transición es x = Calculamos los límites:

lim _x→1f(x) = lim _x→1x ²= 1

Como el límite existe pero es diferente al valor de la función en x = 1 (f(1) = 3), la función presenta una discontinuidad evitable en x =

Tabla Comparativa de Continuidad y Discontinuidad

Consultas Habituales

• ¿Cómo se representa gráficamente una discontinuidad? Se representa mediante un círculo abierto en el punto donde ocurre la discontinuidad.
• ¿Qué ocurre si la función no está definida en un punto? Si la función no está definida en un punto, pero el límite existe, se tiene una discontinuidad evitable. Si el límite no existe, se trata de una discontinuidad esencial.
• ¿Cómo se identifica una asíntota vertical en una función partida? Si el límite de la función cuando x se acerca a un valor específico tiende a infinito, entonces hay una asíntota vertical en ese punto.

Conclusión: Graficar funciones partidas requiere un análisis cuidadoso de la continuidad en los puntos de transición. Comprender los diferentes tipos de discontinuidades y aplicar las técnicas adecuadas de graficación permitirá representar con precisión el comportamiento de estas funciones y entender su significado matemático.