08/12/2015
La representación gráfica de números complejos en su forma binómica (a + bi, donde 'a' es la parte real y 'b' la parte imaginaria) se realiza en un plano llamado plano complejo o plano de Argand. Este plano es similar a un plano cartesiano, pero con una diferencia fundamental: el eje horizontal representa la parte real (Re) y el eje vertical representa la parte imaginaria (Im).
Pasos para graficar un número complejo en forma binómica:
- Identifica la parte real (a) y la parte imaginaria (b) del número complejo. Por ejemplo, en el número complejo 3 + 2i, la parte real es 3 y la parte imaginaria es
- Localiza la parte real en el eje horizontal (eje Re). En nuestro ejemplo, nos movemos 3 unidades a la derecha del origen (0,0).
- Localiza la parte imaginaria en el eje vertical (eje Im). Desde el punto que marca la parte real, nos movemos 2 unidades hacia arriba (ya que la parte imaginaria es positiva). Si la parte imaginaria fuera negativa, nos moveríamos hacia abajo.
- El punto donde convergen las coordenadas de la parte real e imaginaria representa el número complejo en el plano complejo.
Ejemplo:
Vamos a graficar el número complejo z = 3 + 2i.
- Parte real (a) = 3
- Parte imaginaria (b) = 2
En el plano complejo, ubicamos el punto (3, 2). Este punto representa gráficamente el número complejo z = 3 + 2i.
Representación gráfica de diferentes tipos de números complejos:
El plano complejo permite visualizar diferentes tipos de números complejos:
- Números reales: Se ubican sobre el eje horizontal (eje Re). Su parte imaginaria es cero (b=0).
- Números imaginarios puros: Se ubican sobre el eje vertical (eje Im). Su parte real es cero (a=0).
- Números complejos con parte real y parte imaginaria no nulas: Se ubican en cualquier punto del plano que no esté sobre los ejes.
Consultas habituales sobre la representación gráfica de números complejos:
A continuación, se responden algunas de las consultas más frecuentes sobre cómo graficar números complejos en forma binómica:
¿Cómo graficar números complejos con parte imaginaria negativa?
Si la parte imaginaria es negativa, en lugar de moverte hacia arriba en el eje Im, te moverás hacia abajo. Por ejemplo, para graficar -2 - 4i, te moverías 2 unidades a la izquierda en el eje Re y 4 unidades hacia abajo en el eje Im.
¿Cómo graficar números complejos grandes o con decimales?
Para números complejos con valores grandes o decimales, se ajusta la escala del plano complejo para que la representación sea clara y legible. Se puede usar una escala apropiada para representar los valores correctamente.
¿Cuál es la utilidad de graficar números complejos?
La representación gráfica de números complejos facilita la comprensión de sus propiedades y operaciones. Permite visualizar la suma, resta, multiplicación y división de números complejos de forma geométrica, lo que facilita la resolución de problemas y la interpretación de resultados.
Tabla comparativa de la representación de números complejos:
| Forma | Representación | Gráfica en el plano complejo |
|---|---|---|
| Binómica (a + bi) | a + bi, donde 'a' es la parte real y 'b' la parte imaginaria. | Punto (a, b) en el plano complejo. |
| Polar (r(cos θ + i sen θ)) | r es el módulo y θ es el argumento. | Punto a una distancia 'r' del origen, formando un ángulo 'θ' con el eje positivo real. |
| Exponencial (r e iθ ) | r es el módulo y θ es el argumento. | Igual que la representación polar. |
Ejemplos adicionales de graficación de números complejos:
Ejemplo 1: z = -1 + i
Parte real: -1
Parte imaginaria: 1
El punto se ubica en (-1, 1) en el plano complejo.
Ejemplo 2: z = 2 - 3i
Parte real: 2
Parte imaginaria: -3
El punto se ubica en (2, -3) en el plano complejo.
Ejemplo 3: z = 4i
Parte real: 0
Parte imaginaria: 4
El punto se ubica en (0, 4) en el plano complejo (sobre el eje imaginario).
Ejemplo 4: z = -5
Parte real: -5
Parte imaginaria: 0
El punto se ubica en (-5, 0) en el plano complejo (sobre el eje real).
Conclusión:
Graficar números complejos en forma binómica en el plano complejo proporciona una representación visual intuitiva que facilita la comprensión de sus propiedades y operaciones. Dominar esta técnica es fundamental para una sólida comprensión del álgebra de números complejos y su aplicación en diferentes áreas de las matemáticas y la ingeniería.