30/05/2018
Graficar logaritmos con valor absoluto requiere un entendimiento profundo de las propiedades tanto de las funciones logarítmicas como del valor absoluto. Mientras que una función logarítmica estándar, como log b(x), solo está definida para valores de x positivos, la inclusión del valor absoluto, |x|, permite extender el dominio a todos los números reales excepto cero, modificando significativamente la gráfica.
Entendiendo la función logarítmica
Antes de adentrarnos en la gráfica de logaritmos con valor absoluto, revisemos brevemente el comportamiento de una función logarítmica básica. La función y = log b(x), donde b es la base (b > 0 y b ≠ 1), tiene las siguientes características:
- Dominio: x > 0 (solo números reales positivos)
- Rango: Todos los números reales
- Asíntota vertical: x = 0 (el eje y)
- Intersección con el eje x: (1, 0)
- Crecimiento/Decrecimiento: Crece si b > 1 y decrece si 0 < b < 1
Estas características son fundamentales para comprender cómo el valor absoluto altera la gráfica.
El efecto del valor absoluto
Incluir el valor absoluto dentro de la función logarítmica, como en y = log b(|x|), cambia drásticamente su comportamiento. El valor absoluto asegura que el argumento del logaritmo siempre sea positivo, extendiendo el dominio.
Consideremos la función y = log 10(|x|). Observemos que:
- Para x > 0, |x| = x, por lo que la gráfica coincide con y = log 10 (x).
- Para x < 0, |x| = -x, por lo que la gráfica es simétrica respecto al eje y con respecto a la parte positiva.
Esto significa que la gráfica de y = log 10(|x|) es esencialmente un reflejo de la gráfica de y = log 10(x) en el eje y. La parte negativa del eje x, donde anteriormente la función no estaba definida, ahora está reflejada.
Graficando paso a paso
Para graficar una función logarítmica con valor absoluto, sigue estos pasos:
- Grafica la función logarítmica básica: Comienza graficando y = log b (x) utilizando los puntos clave y las propiedades mencionadas anteriormente.
- Refleja en el eje y: Refleja la parte de la gráfica donde x > 0 sobre el eje y para obtener la parte de la gráfica donde x < 0. Esto se debe a la propiedad del valor absoluto que hace que f(|x|) sea una función par.
- Verifica la asíntota: Asegúrate de que la asíntota vertical se mantenga en x = 0. La función sigue indefinida en x = 0.
- Añade detalles: Añade puntos adicionales para mayor precisión, si es necesario. Considera el comportamiento de la función para valores de x cercanos a 0.
Ejemplos
Consideremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: y = ln(|x|)
La gráfica de y = ln(|x|) será similar a la de y = ln(x) para x > 0. Sin embargo, para x < 0, la gráfica se reflejará en el eje y. La asíntota vertical permanecerá en x = 0.
Ejemplo 2: y = log 2(|x| - 1)
En este caso, el valor absoluto se aplica a (x -1). La gráfica se desplazará una unidad hacia la derecha en comparación con log 2(|x|). La asíntota vertical estará en x =
Ejemplo 3: y = |log 10(x)|
Aquí, el valor absoluto se aplica a todo el logaritmo. En este caso, la parte de la gráfica donde log 10(x) < 0 se reflejará en el eje x. La asíntota vertical se mantendrá en x = 0.
Tabla comparativa
| Función | Dominio | Rango | Asíntota Vertical |
|---|---|---|---|
| y = log b (x) | x > 0 | Todos los números reales | x = 0 |
| y = log b (|x|) | x ≠ 0 | Todos los números reales | x = 0 |
| y = |log b (x)| | x > 0 | y ≥ 0 | x = 0 |
Consultas habituales
¿Qué pasa si la base del logaritmo es negativa? La base del logaritmo debe ser positiva y diferente de Si la base es negativa, la función no está definida para la mayoría de los valores de x.
¿Cómo se grafica un logaritmo con valor absoluto y una transformación? Aplica las transformaciones (desplazamientos, reflexiones, estiramientos) a la gráfica de y = log b(|x|) de la misma manera que lo harías para cualquier otra función.
¿Existen otras formas de graficar logaritmos con valor absoluto? Sí, se pueden utilizar software de graficación, calculadoras gráficas o métodos numéricos para obtener una representación gráfica más precisa.
Comprender cómo el valor absoluto modifica la gráfica de una función logarítmica es clave para poder representar visualmente estas funciones. La clave reside en recordar el reflejo de la gráfica sobre el eje y, manteniendo la asíntota vertical y aplicando las transformaciones según corresponda. El dominio se amplía, pero la asíntota vertical permanece.
Recuerda: La práctica es fundamental para dominar la gráfica de logaritmos con valor absoluto.