03/12/2018
Las asíntotas oblicuas representan líneas rectas a las que se aproxima una función cuando xtiende a infinito o menos infinito. A diferencia de las asíntotas verticales u horizontales, las asíntotas oblicuas presentan una inclinación, lo que las hace un poco más complejas de determinar y graficar. En este artículo, exploraremos en detalle cómo graficar una asíntota oblicua utilizando el método de Gauss, también conocido como división larga de polinomios.
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¿Qué es una Asíntota Oblicua?
Una asíntota oblicua es una línea recta de la forma y = mx + b a la cual la gráfica de una función f(x)se aproxima cuando xtiende a infinito positivo o negativo. A diferencia de las asíntotas horizontales (que son líneas horizontales) o verticales (líneas verticales), la asíntota oblicua tiene una pendiente ( m) distinta de cero. Su presencia indica el comportamiento de la función para valores muy grandes o muy pequeños de x.
Método de Gauss para Hallar la Asíntota Oblicua
El método de Gauss, o división larga de polinomios, es la técnica más común para determinar la ecuación de una asíntota oblicua. Este método se aplica cuando el grado del numerador de una función racional es exactamente uno mayor que el grado del denominador. Si el grado del numerador es mayor por dos o más que el grado del denominador, entonces la función no tendrá una asíntota oblicua, sino una asíntota parabólica u otra curva de grado superior.
Los pasos para encontrar la asíntota oblicua usando el método de Gauss son:
- División Larga: Realiza la división larga del polinomio del numerador entre el polinomio del denominador. El cociente resultante será un polinomio lineal de la forma ax + b .
- Identificación de la Asíntota: El cociente ax + b obtenido en el paso anterior representa la ecuación de la asíntota oblicua. Por lo tanto, y = ax + b es la ecuación de la asíntota oblicua.
- Despreciar el Resto: El resto de la división larga se desprecia al determinar la asíntota oblicua, ya que su influencia se vuelve insignificante cuando x tiende a infinito o menos infinito.
Ejemplo Práctico:
Consideremos la función racional:
f(x) = (2x² + 3x + 1) / (x + 1)
Para hallar la asíntota oblicua, realizamos la división larga:
| 2x | +1 | ||
|---|---|---|---|
| x + 1 | 2x² | +3x | +1 |
| -2x² | -2x | ||
| x | +1 | ||
| -x | -1 | ||
| 0 |
El cociente es 2x + 1. Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es y = 2x + 1.
Graficando la Asíntota Oblicua
Una vez que hemos determinado la ecuación de la asíntota oblicua (por ejemplo, y = 2x + 1), podemos graficarla fácilmente. Simplemente, se dibuja la línea recta correspondiente a la ecuación. La gráfica de la función f(x)se aproximará a esta línea recta cuando xtienda a infinito o menos infinito. Es importante recordar que la función nunca tocará la asíntota oblicua, solo se aproximará a ella.
Consultas Habituales sobre Asíntotas Oblicuas
- ¿Cuándo existe una asíntota oblicua? Una asíntota oblicua existe cuando el grado del numerador de una función racional es exactamente uno mayor que el grado del denominador.
- ¿Puedo tener más de una asíntota oblicua? No, una función solo puede tener una asíntota oblicua a la derecha (cuando x tiende a infinito) y otra a la izquierda (cuando x tiende a menos infinito). Aunque es posible que estas dos asíntotas sean paralelas.
- ¿Qué ocurre si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador por más de uno? En este caso, la función no tendrá una asíntota oblicua, sino una asíntota parabólica o de grado superior.
- ¿Cómo diferencio entre una asíntota oblicua y una asíntota horizontal? Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la asíntota será horizontal; si son iguales, la asíntota será horizontal y su ecuación será la división de los coeficientes del mayor grado. Si el grado del numerador es mayor en uno que el del denominador, la asíntota es oblicua.
Tabla Comparativa: Tipos de Asíntotas
| Tipo de Asíntota | Condición | Ecuación |
|---|---|---|
| Vertical | Denominador = 0 | x = c (donde c es la raíz del denominador) |
| Horizontal | Grado(numerador) < Grado(denominador) | y = 0 (o una constante) |
| Oblicua | Grado(numerador) = Grado(denominador) + 1 | y = mx + b (obtenido por división larga) |
Consideraciones Adicionales
Es crucial recordar que el método de Gauss para hallar asíntotas oblicuas solo se aplica a funciones racionales. Para otros tipos de funciones, se requieren métodos diferentes para determinar las asíntotas. Además, la gráfica de la asíntota oblicua solo proporciona información sobre el comportamiento de la función en el infinito. El comportamiento local de la función puede ser muy diferente.
La comprensión de las asíntotas oblicuas es fundamental para un análisis completo del comportamiento de una función, especialmente en el contexto del cálculo y el análisis matemático. Dominar el método de Gauss para su cálculo es una herramienta esencial para cualquier estudiante o profesional que trabaje con funciones matemáticas.