Cómo graficar funciones con números complejos en geogebra

GeoGebra, a pesar de no tener una herramienta específica para manejar números complejos de forma directa, ofrece recursos creativos para visualizar y operar con ellos. Esta tutorial te mostrará cómo representar gráficamente funciones que involucran números complejos utilizando las herramientas disponibles en GeoGebra.

Representando Números Complejos en GeoGebra

La clave para trabajar con números complejos en GeoGebra radica en su representación geométrica en el plano complejo. Cada número complejo z = a + bise corresponde con un punto (a, b) en el plano cartesiano, donde 'a' es la parte real y 'b' la parte imaginaria. GeoGebra utiliza esta correspondencia para permitirnos trabajar con estas entidades matemáticas.

Paso 1: Definir el Número Complejo

GeoGebra no permite ingresar un número complejo de la forma a + bi directamente como una variable. En su lugar, se utiliza la notación de punto o vector. Crea un punto con coordenadas (a, b) para representar el número complejo z = a + bi. Por ejemplo, para representar el número 3 + 2i, crea un punto con las coordenadas (3, 2).

Paso 2: Configurar el Formato de Coordenadas

Una vez creado el punto, debes indicar a GeoGebra que lo interprete como un número complejo. Para hacer esto, selecciona el punto en la vista gráfica, haz clic derecho y selecciona "Propiedades". En la pestaña "Álgebra", busca la opción "Formato de coordenadas" y selecciona "Número complejo". GeoGebra ahora mostrará el punto con la notación de número complejo (en este caso, 3 + 2i).

Paso 3: Operaciones con Números Complejos

Ahora puedes realizar operaciones con los números complejos representados como puntos. Por ejemplo, para sumar dos números complejos z1y z2, puedes usar la herramienta "Vector entre dos puntos" para crear un vector desde el origen hasta la suma de las coordenadas de z1y z2. La resta, multiplicación y división se pueden realizar de manera similar utilizando las herramientas apropiadas de GeoGebra, considerando las propiedades geométricas de estas operaciones en el plano complejo.

Graficando Funciones con Números Complejos

Graficar funciones de variable compleja requiere un enfoque diferente al de las funciones de variable real. Mientras que las funciones de variable real se representan en un plano bidimensional (x, y), las funciones de variable compleja w = f(z), donde zy wson números complejos, requieren un espacio de cuatro dimensiones para su representación completa (la parte real e imaginaria de zy la parte real e imaginaria de w). Esto hace la representación gráfica completa imposible directamente en GeoGebra.

Sin embargo, podemos visualizar ciertos aspectos de estas funciones. Una forma común es representar la imagen de una región del plano complejo bajo la función. Esto implica seleccionar una región del plano complejo (por ejemplo, un cuadrado o un círculo), y luego calcular la imagen de cada punto de esa región bajo la función. Los puntos resultantes se grafican en un nuevo plano, mostrando cómo la función transforma la región original.

Ejemplo: Visualización de la Función f(z) = z²

Para visualizar la función f(z) = z², podríamos crear una cuadrícula de puntos en el plano complejo. Para cada punto z, calculamos f(z) = z²y graficamos el resultado como un nuevo punto en el plano complejo. Esta técnica, aunque no proporciona una representación completa de la función en cuatro dimensiones, nos permite observar cómo la función transforma diferentes regiones del plano complejo.

Herramientas Útiles en GeoGebra para la Representación

Para facilitar la creación de gráficos y la visualización de las transformaciones, las siguientes herramientas de GeoGebra resultan especialmente útiles:

• Puntos: Para representar los números complejos.
• Vectores: Para realizar operaciones como sumas y restas de forma visual.
• Lista de Puntos: Para representar un conjunto de puntos que conforman la imagen de una región bajo una función.
• Lugar Geométrico: Para visualizar el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición, aunque su aplicación con números complejos requiere un manejo cuidadoso.

Limitaciones y Consideraciones

Tener en cuenta las limitaciones de GeoGebra al trabajar con números complejos. No se pueden realizar cálculos simbólicos directos con números complejos como se haría con un software de álgebra computacional. La representación gráfica es una aproximación visual, y la comprensión completa de la función requiere un análisis matemático aparte.

Consultas Habituales

A continuación, se responden algunas consultas comunes relacionadas con la graficación de funciones con números complejos en GeoGebra:

Conclusión

Si bien GeoGebra no proporciona herramientas directas para el manejo de funciones de variable compleja, su capacidad para representar puntos y vectores en el plano complejo, junto con sus herramientas de visualización, permiten una aproximación visual y operativa con números complejos. La creatividad y la comprensión de las propiedades geométricas de los números complejos son clave para utilizar eficazmente GeoGebra en este contexto.

Recuerda que la representación gráfica es solo una parte del análisis de funciones complejas. Es crucial complementar el trabajo en GeoGebra con un sólido conocimiento de las herramientas matemáticas para comprender completamente el comportamiento de la función.