15/06/2018
La representación gráfica de los números reales es fundamental en matemáticas. Nos permite visualizar y comprender las relaciones entre diferentes tipos de números y sus propiedades. Este artículo explora en detalle cómo se representan los números reales en una recta numérica, incluyendo ejemplos y ejercicios prácticos.
La Recta Numérica Real
La recta numérica es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Se utiliza para representar los números reales, un conjunto que incluye a los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números complejos, sin embargo, no se representan en la recta numérica real, ya que pertenecen a un sistema numérico diferente.
En la recta numérica real:
- El punto 0 representa el origen .
- Los números positivos se ubican a la derecha del origen.
- Los números negativos se ubican a la izquierda del origen.
La distancia entre cada número entero consecutivo es constante, estableciendo una escala para la representación.
Representando Números Reales en la Recta Numérica
Para representar un número real en la recta numérica, se siguen los siguientes pasos:
- Dibujar una línea horizontal con flechas en ambos extremos para indicar su extensión infinita.
- Marcar el origen (0) en cualquier punto de la línea.
- Establecer una escala : marcar números enteros a intervalos iguales a ambos lados del origen.
- Ubicar el número : si el número es entero, se marca directamente en la recta. Si es decimal, se ubica entre los dos enteros consecutivos que lo contienen.
- Magnitud y precisión : para números grandes, se puede ajustar la escala. Para números decimales con muchas cifras significativas, se requiere un proceso de magnificación sucesiva , como se explicará a continuación.
Magnitud Sucesiva para Números Decimales
La magnificación sucesiva es una técnica para representar números decimales con alta precisión en la recta numérica. Consiste en ampliar sucesivamente la zona de la recta donde se encuentra el número, permitiendo una mayor exactitud en su ubicación.
Ejemplo: Representar el número 665 en la recta numérica.
- El número se encuentra entre 2 y
- Se divide el intervalo entre 2 y 3 en diez partes iguales. 665 se encuentra entre 6 y
- Se amplía el intervalo entre 6 y 7, dividiéndolo en diez partes iguales. 665 se encuentra entre 66 y 6
- Se repite el proceso hasta alcanzar la precisión deseada.
Este método permite representar cualquier número real, incluyendo los números irracionales (como π o √2), aunque su representación será siempre aproximada, debido a la naturaleza infinita de su expresión decimal.
Tipos de Números Reales y su Representación
| Tipo de Número | Ejemplos | Representación en la Recta Numérica |
|---|---|---|
| Naturales | 1, 2, 3, ... | Puntos discretos a la derecha del 0 |
| Enteros | ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... | Puntos discretos a ambos lados del 0 |
| Racionales | 1/2, 0.75, -2/3 | Puntos discretos o densos, dependiendo de la escala |
| Irracionales | π, √2, e | Puntos que no pueden representarse exactamente con una fracción, se aproximan mediante magnificación sucesiva. |
Ejercicios
Representa los siguientes números reales en una recta numérica:
- 5
- 67
- 37
- 765
- 55
- -2
- -75
- π (aproximadamente 14159)
- √2 (aproximadamente 414)
Recuerda aplicar la magnificación sucesiva cuando sea necesario para representar los números decimales con precisión.
Consultas Habituales
- ¿Cómo se representa un número irracional en la recta numérica? Se aproxima su valor decimal mediante magnificación sucesiva.
- ¿Qué es la magnificación sucesiva? Es un método para representar números decimales con alta precisión en la recta numérica mediante la ampliación sucesiva del intervalo.
- ¿Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica? Sí, aunque la representación de los irracionales es siempre aproximada.
La comprensión de la representación gráfica del conjunto de números reales es crucial para el desarrollo de conceptos matemáticos más avanzados. Dominar la recta numérica y las técnicas de representación, incluyendo la magnificación sucesiva, proporciona una base sólida para el estudio del análisis matemático y otras áreas relacionadas.