Discontinuidad evitable gráfica

En el análisis matemático, comprender las discontinuidades de una función es crucial para analizar su comportamiento y propiedades. Dentro de las discontinuidades, las discontinuidades evitables ocupan un lugar destacado, ya que, a diferencia de otras, pueden ser "reparadas" para lograr la continuidad de la función. Este artículo explora en detalle qué son las discontinuidades evitables, cómo se representan gráficamente y cómo identificarlas.

¿Qué es una discontinuidad evitable?

Una función se considera discontinua en un punto x = asi no cumple con la definición de continuidad en dicho punto. Recordemos que para que una función f(x)sea continua en x = a, deben cumplirse tres condiciones:

1. f(a) debe estar definida (el punto existe).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a a debe existir (lim _x→a f(x) existe).
3. El límite debe ser igual al valor de la función en el punto: lim _x→a f(x) = f(a) .

Si alguna de estas condiciones falla, la función presenta una discontinuidad en x = a. Una discontinuidad evitable se caracteriza porque el límite de la función en el punto existe, pero el valor de la función en ese punto es diferente al límite, o bien la función no está definida en el punto, pero el límite sí existe. En esencia, la discontinuidad se puede "evitar" redefiniendo la función en el punto x = apara que coincida con el valor del límite.

Tipos de Discontinuidades

Antes de profundizar en las discontinuidades evitables, es importante comprender la clasificación general de las discontinuidades:

• Discontinuidades Evitables: Como se explicó anteriormente, el límite existe, pero no coincide con el valor de la función en el punto, o la función no está definida en el punto.
• Discontinuidades de Salto: El límite por la izquierda y por la derecha existen, pero son diferentes. La función "salta" de un valor a otro en el punto de discontinuidad.
• Discontinuidades Esenciales o de Infinito: El límite de la función tiende a infinito (positivo o negativo) cuando x se acerca al punto de discontinuidad. La función presenta una asíntota vertical.

Representación Gráfica de una Discontinuidad Evitable

La representación gráfica de una discontinuidad evitable se caracteriza por un "hueco" en la gráfica. La función está definida y es continua en todos los puntos alrededor de x = a, excepto en el propio punto a. El gráfico muestra una tendencia clara hacia un valor específico a medida que xse acerca a a, pero hay un pequeño "salto" en dicho punto, o simplemente el punto no está definido en la gráfica.

Para graficar una discontinuidad evitable :

1. Identifica el punto x = a donde ocurre la discontinuidad.
2. Determina el límite de la función cuando x tiende a a (lim _x→a f(x) ).
3. Traza la gráfica de la función en los intervalos (a-δ, a) y (a, a+δ), donde δ es un número positivo pequeño.
4. En el punto x = a , deja un "hueco" en la gráfica para indicar que la función no está definida o no coincide con el valor del límite. Si el límite existe, puedes marcar el punto (a, lim _x→a f(x) ) con un círculo abierto para indicar el valor al cual se aproxima la función.

Identificación de Discontinuidades Evitables en una Gráfica

Para identificar una discontinuidad evitable en una gráfica, busca lo siguiente:

• Un "hueco" en la gráfica en un punto específico.
• La función parece aproximarse a un valor específico desde ambos lados del punto.
• El límite de la función en el punto existe.
• El valor de la función en el punto es diferente al valor del límite, o bien no está definido.

Ejemplos de Discontinuidades Evitables

Consideremos la función:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x = 1. Si simplificamos la expresión, obtenemos:

f(x) = x + 1para x ≠ 1

El límite de la función cuando xtiende a 1 es Sin embargo, la función no está definida en x = 1. Por lo tanto, redefiniendo la función como:

g(x) = x + 1para todo x

obtenemos una función continua en x = 1. La discontinuidad original era evitable.

Tabla Comparativa de Discontinuidades

Consultas Habituales sobre Discontinuidades Evitables

¿Cómo diferencio una discontinuidad evitable de una de salto? En una discontinuidad evitable, el límite existe; en una de salto, los límites laterales existen pero son diferentes.

¿Puedo siempre "reparar" una discontinuidad evitable? Sí, siempre que el límite exista, se puede redefinir la función en el punto para hacerla continua.

¿Qué importancia tienen las discontinuidades evitables en el cálculo? Comprender las discontinuidades, incluyendo las evitables, es fundamental para el análisis de funciones, la derivación e integración, y la aplicación de teoremas importantes del cálculo.

Las discontinuidades evitables son un concepto importante en el análisis matemático. Su comprensión requiere un conocimiento sólido de los límites y la continuidad de funciones. La capacidad de identificar y representar gráficamente estas discontinuidades es esencial para un análisis completo del comportamiento de las funciones.