14/06/2010
La distribución de Poisson es una herramienta fundamental en estadística, particularmente útil para modelar la probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo específico de tiempo, espacio u otra unidad de medida. A diferencia de la distribución normal, que se aplica a variables continuas, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, ideal para contar eventos que ocurren de forma aleatoria e independiente.
- Características de la Distribución de Poisson
- Cálculo de Probabilidades con la Distribución de Poisson
- Representación Gráfica de la Distribución de Poisson
- Aplicaciones de la Distribución de Poisson
- Comparación con la Distribución Binomial
- Consultas Habituales sobre la Distribución de Poisson
- Conclusión
Características de la Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se caracteriza por:
- Eventos aleatorios: Se enfoca en eventos que ocurren al azar, sin un patrón predecible.
- Independencia: La ocurrencia de un evento no influye en la probabilidad de que ocurra otro evento.
- Homogeneidad: La probabilidad de ocurrencia del evento es constante en el intervalo de estudio.
- Media constante: El único parámetro que define la distribución es la media (λ), que representa el número promedio de eventos en el intervalo.
Función de Masa de Probabilidad
La probabilidad de que ocurran exactamente 'k' eventos en un intervalo dado se calcula con la siguiente fórmula:
P(X = k) = (e -λ λ k) / k!
Donde:
- P(X = k) es la probabilidad de k eventos.
- λ es la media (o tasa de eventos).
- e es la constante matemática (aproximadamente 71828).
- k! es el factorial de k.
Cálculo de Probabilidades con la Distribución de Poisson
Para calcular probabilidades con la distribución de Poisson, es necesario conocer la media (λ) del proceso. Una vez obtenida, se puede utilizar la fórmula anterior o herramientas estadísticas (software o calculadoras) para calcular la probabilidad de diferentes escenarios.
Ejemplos de Cálculo
Ejemplo 1: Una tienda recibe un promedio de 5 clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima hora reciba exactamente 3 clientes?
En este caso, λ = 5 y k = Sustituyendo en la fórmula:
P(X = 3) = (e -5 5 3) / 3! ≈ 0.14
Ejemplo 2: Un call center recibe un promedio de 10 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto determinado reciba más de 12 llamadas?
Aquí, λ = Para calcular P(X > 12), se debe sumar las probabilidades individuales de 13, 14, 15, y así sucesivamente. Sin embargo, es más eficiente calcular P(X ≤ 12) y restarlo de 1:
P(X > 12) = 1 - P(X ≤ 12)
El cálculo de P(X ≤ 12) requiere el uso de una tabla de distribución de Poisson o software estadístico.
Representación Gráfica de la Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se representa gráficamente como una histograma de barras, donde el eje horizontal representa el número de eventos (k) y el eje vertical representa la probabilidad de que ocurra ese número de eventos. La forma del histograma dependerá del valor de la media (λ). Para valores pequeños de λ, la distribución es asimétrica a la derecha. A medida que λ aumenta, la distribución se acerca a una forma simétrica, similar a la distribución normal.
Aplicaciones de la Distribución de Poisson
La distribución de Poisson tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, incluyendo:
- Control de calidad: Modelar el número de defectos en un lote de productos.
- Telecomunicaciones: Modelar el número de llamadas en un call center.
- Finanzas: Modelar el número de transacciones en un periodo de tiempo determinado.
- Biología: Modelar el número de células en una muestra.
- Medicina: Modelar el número de pacientes que llegan a un hospital en un periodo determinado.
- Análisis de riesgos: Modelar la ocurrencia de eventos raros, como accidentes.
Comparación con la Distribución Binomial
Tanto la distribución de Poisson como la binomial son distribuciones de probabilidad discretas. Sin embargo, existen diferencias clave:
| Característica | Distribución Binomial | Distribución de Poisson |
|---|---|---|
| Número de ensayos | Fijo (n) | No está definido |
| Probabilidad de éxito | Constante (p) | Constante (λ) |
| Eventos | Independientes | Independientes |
| Aplicación | Eventos con un número fijo de intentos | Eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio |
La distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación a la binomial cuando el número de ensayos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña (np es aproximadamente constante).
Consultas Habituales sobre la Distribución de Poisson
¿Cuándo se utiliza la distribución de Poisson? Se utiliza cuando se estudia la probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios e independientes en un intervalo dado, con una tasa media constante.
¿Cómo se representa gráficamente la distribución de Poisson? Se representa con un histograma de barras, donde cada barra representa la probabilidad de un número específico de eventos.
¿Cuál es la diferencia entre la distribución de Poisson y la binomial? La distribución binomial cuenta éxitos en un número fijo de intentos, mientras que la Poisson cuenta eventos en un intervalo de tiempo o espacio.
¿Qué es la media en la distribución de Poisson? La media (λ) es el parámetro principal, representando el número promedio de eventos en el intervalo.
Conclusión
La distribución de Poisson es una herramienta poderosa para el análisis de datos, especialmente útil para modelar la probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios. Comprender sus características, cálculos y aplicaciones permite su correcta utilización en diversos campos, ofreciendo una visión más precisa de fenómenos aleatorios.