30/11/2017
Encontrar la ecuación de una recta a partir de su gráfica es una habilidad fundamental en álgebra y geometría analítica. Esta tutorial te proporcionará un método paso a paso, ejemplos y estrategias para dominar esta técnica, abordando diferentes escenarios y casos especiales.
Formas de la Ecuación de la Recta
Antes de comenzar, recordemos las formas principales de la ecuación de una recta:
- Forma pendiente-intersección: y = mx + b, donde 'm' es la pendiente y 'b' es la intersección con el eje y.
- Forma punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1), donde 'm' es la pendiente y (x1, y1) es un punto de la recta.
- Forma general: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes.
La elección de la forma a utilizar dependerá de la información disponible en la gráfica.
Encontrando la Pendiente (m)
La pendiente 'm' representa la inclinación de la recta. Se calcula como el cambio en 'y' dividido por el cambio en 'x' entre dos puntos cualesquiera de la recta. Matemáticamente:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Para encontrar la pendiente a partir de una gráfica:
- Identifica dos puntos claramente definidos en la recta. Anota sus coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).
- Aplica la fórmula de la pendiente usando las coordenadas de los dos puntos.
- Simplifica el resultado para obtener la pendiente.
Ejemplos de cálculo de la pendiente:
Ejemplo 1: Si los puntos son (2, 4) y (6, 10): m = (10 - 4) / (6 - 2) = 6 / 4 = 3/2
Ejemplo 2: Si los puntos son (-1, 3) y (2, 0): m = (0 - 3) / (2 - (-1)) = -3 / 3 = -1
Caso especial: Rectas horizontales: Las rectas horizontales tienen pendiente m = 0.
Caso especial: Rectas verticales: Las rectas verticales tienen pendiente indefinida (o no existe).
Encontrando la Intersección con el Eje y (b)
La intersección con el eje y 'b' es el valor de 'y' cuando 'x' es igual a 0. Es el punto donde la recta cruza el eje y. Se puede encontrar directamente en la gráfica observando el punto donde la recta corta el eje y.
Si no se observa directamente en la gráfica, se puede usar la forma pendiente-intersección (y = mx + b) y uno de los puntos (x1, y1) de la recta. Sustituye 'm' (la pendiente ya calculada), 'x1' y 'y1' en la ecuación y despeja 'b'.
Escribiendo la Ecuación de la Recta
Una vez calculados la pendiente 'm' y la intersección con el eje y 'b', se puede escribir la ecuación de la recta en su forma pendiente-intersección: y = mx + b.
Si no se conoce la intersección con el eje y, se puede utilizar la forma punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1), donde (x1, y1) es un punto cualquiera de la recta.
Ejemplos Completos
Ejemplo 1:
Supongamos que la gráfica muestra una recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).
- Calcula la pendiente: m = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2
- Encuentra la intersección con el eje y: Usando la forma punto-pendiente con el punto (1, 2) y la pendiente m = 2: y - 2 = 2(x - 1) => y - 2 = 2x - 2 => y = 2x
- Ecuación de la recta: y = 2x
Ejemplo 2:
La gráfica muestra una recta que pasa por los puntos (-2, 1) y (0, -1).
- Calcula la pendiente: m = (-1 - 1) / (0 - (-2)) = -2 / 2 = -1
- Encuentra la intersección con el eje y: La gráfica muestra que la recta interseca el eje y en (0, -1), por lo tanto, b = -
- Ecuación de la recta: y = -x - 1
Tabla Resumen
| Tipo de Recta | Pendiente (m) | Intersección con el eje y (b) | Ecuación |
|---|---|---|---|
| Recta con pendiente positiva | m > 0 | Cualquier valor | y = mx + b |
| Recta con pendiente negativa | m < 0 | Cualquier valor | y = mx + b |
| Recta horizontal | m = 0 | b = valor de y | y = b |
| Recta vertical | Pendiente indefinida | No existe | x = valor de x |
Consultas Habituales
- ¿Cómo encuentro la ecuación de una recta paralela a otra? Una recta paralela tiene la misma pendiente que la recta original.
- ¿Cómo encuentro la ecuación de una recta perpendicular a otra? La pendiente de una recta perpendicular es el inverso negativo de la pendiente de la recta original (m_perpendicular = -1/m).
- ¿Qué hacer si la gráfica no muestra claramente la intersección con el eje y? Usa la forma punto-pendiente y cualquier punto visible en la gráfica.
- ¿Cómo represento gráficamente la ecuación de una recta? Necesitas al menos dos puntos. Puedes encontrarlos sustituyendo valores de 'x' en la ecuación y resolviendo para 'y'.
Ejercicios de Práctica
Para afianzar tus conocimientos, intenta encontrar la ecuación de la recta a partir de los siguientes pares de puntos:
- (2,5) y (4,1)
- (-3,0) y (0,3)
- (1,-1) y (3,-1)
- (-2,2) y (-2,5)
Recuerda que la práctica constante es clave para dominar la habilidad de encontrar la ecuación de la recta a partir de una gráfica.