22/05/2021
En este artículo, exploraremos a fondo el concepto de función lineal, cómo resolverlas paso a paso y cómo representarlas gráficamente. Aprenderemos a identificar las características clave de estas funciones y a aplicarlas en la resolución de problemas. Veremos numerosos ejemplos de función lineal con gráfica resueltos para una mejor comprensión.
Qué es una función lineal
Una función lineal es una relación matemática entre dos variables (generalmente representadas como 'x' e 'y') donde la variable dependiente (y) cambia a una tasa constante con respecto a la variable independiente (x). Se caracteriza por su representación gráfica como una línea recta en el plano cartesiano. Su ecuación general es de la forma: y = mx + b, donde:
- m representa la pendiente de la recta (indica la inclinación de la línea): Una pendiente positiva indica una línea creciente, una pendiente negativa indica una línea decreciente, y una pendiente cero indica una línea horizontal.
- b representa la ordenada al origen (el punto donde la línea cruza el eje y).
Las funciones lineales son fundamentales en matemáticas y se aplican en numerosos campos, desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias sociales.
Características de una función lineal:
- Representación gráfica: Línea recta.
- Pendiente constante: La relación entre el cambio en 'y' y el cambio en 'x' es siempre la misma.
- Ecuación de primer grado: La variable 'x' solo aparece elevada a la potencia
- Dominio y codominio: El dominio (valores posibles de x) y el codominio (valores posibles de y) son generalmente conjuntos de números reales.
Ejemplos de función lineal con gráfica resueltos
Analicemos algunos ejemplos de función lineal con gráfica resueltos :
Ejemplo 1: y = 2x + 1
En esta función, la pendiente (m) es 2 y la ordenada al origen (b) es Para graficarla, podemos encontrar dos puntos:
- Si x = 0, entonces y = 2(0) + 1 = Un punto es (0, 1).
- Si x = 1, entonces y = 2(1) + 1 = Otro punto es (1, 3).
Uniendo estos dos puntos en un plano cartesiano, obtenemos una línea recta con pendiente positiva.
Ejemplo 2: y = -x + 3
Aquí, la pendiente (m) es -1 y la ordenada al origen (b) es Puntos:
- Si x = 0, y = Punto (0, 3).
- Si x = 1, y = Punto (1, 2).
La gráfica es una línea recta con pendiente negativa.
Ejemplo 3: y = 5
En este caso, la función es una línea horizontal. La pendiente es 0, y la ordenada al origen es La ecuación se puede escribir como y = 0x +
Ejemplo 4: Problemas de aplicación
Supongamos que el costo de producción de un artículo es de $5 por unidad, más un costo fijo de $100. La función lineal que representa el costo total (C) en función del número de unidades producidas (x) es: C = 5x + 100.
Si se producen 20 unidades, el costo total sería: C = 5(20) + 100 = $200
Tabla comparativa de ejemplos
| Función | Pendiente (m) | Ordenada al origen (b) | Tipo de línea |
|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 2 | 1 | Creciente |
| y = -x + 3 | -1 | 3 | Decreciente |
| y = 5 | 0 | 5 | Horizontal |
| y = -3x | -3 | 0 | Decreciente |
| y = 1/2x + 2 | 1/2 | 2 | Creciente |
Cómo resolver una función lineal paso a paso
Resolver una función lineal implica encontrar el valor de una variable (generalmente 'y') dado un valor de la otra variable ('x'), o viceversa. Para ello, se sustituye el valor conocido en la ecuación y se resuelve para la variable desconocida.
Ejemplo:
Dada la función y = 3x - 2, encuentre el valor de 'y' cuando x =
Sustituimos x = 4 en la ecuación:
y = 3(4) - 2 = 10
Por lo tanto, cuando x = 4, y =
Consultas habituales sobre funciones lineales
- ¿Qué es una función lineal? Una función lineal es una relación matemática entre dos variables que se representa gráficamente como una línea recta.
- ¿Cuál es la ecuación general de una función lineal? y = mx + b
- ¿Qué significa la pendiente (m)? La pendiente indica la inclinación de la recta.
- ¿Qué significa la ordenada al origen (b)? La ordenada al origen es el punto donde la recta interseca el eje y.
- ¿Cómo se grafica una función lineal? Se necesitan al menos dos puntos para graficar una recta. Se pueden obtener los puntos sustituyendo valores de 'x' en la ecuación y hallando los valores de 'y' correspondientes.
- ¿Qué tipos de problemas se pueden resolver con funciones lineales? Se pueden resolver problemas de proporcionalidad directa, problemas de costo y precio, problemas de movimiento uniforme, entre otros.
Este artículo proporciona una base sólida para comprender las funciones lineales. La práctica con diferentes ejemplos y problemas te ayudará a dominar este importante concepto matemático.