Ejemplos de límites de una función con gráfica

El límite de una función es un concepto fundamental en cálculo que describe el comportamiento de una función a medida que su variable independiente se aproxima a un determinado valor. Intuitivamente, el límite representa el valor al cual se acerca la función cuando la variable independiente se acerca a un punto específico, sin llegar necesariamente a ese punto. La comprensión de los límites es crucial para el estudio del cálculo diferencial e integral.

Teorema del Sándwich (o Teorema del Emparedado)

Antes de profundizar en ejemplos, es útil comprender el Teorema del Sándwich, también conocido como el Teorema del Emparedado. Este teorema establece que si tenemos tres funciones, g(x), f(x)y h(x), tales que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)en un entorno de un punto a, y si lim _x→a g(x) = lim _x→a h(x) = L, entonces lim _x→a f(x) = L. En esencia, si una función queda "atrapada" entre otras dos que tienden al mismo límite, entonces esa función también tenderá a ese mismo límite.

Ejemplos de Límites de Funciones con Gráficas

Ejemplo 1: Límite de una Función Continua

Consideremos la función f(x) = x². Para encontrar el límite de f(x) cuando x tiende a 2, podemos observar la gráfica. A medida que xse acerca a 2, f(x)se acerca a Formalmente, escribimos: lim _x→2 x² = 4. En este caso, el límite es igual al valor de la función en el punto, ya que la función es continua en x = 2.

Ejemplo 2: Límite de una Función con una Discontinuidad Evitable

Consideremos la función definida por partes:

f(x) = { x², si x ≠ 2
{ 1, si x = 2

La gráfica de esta función mostrará una discontinuidad en x = 2. Sin embargo, al observar la gráfica, vemos que a medida que xse acerca a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, f(x)se acerca a Por lo tanto, lim _x→2 f(x) = 4, aunque f(2) = 1. Este es un ejemplo de un límite existente a pesar de una discontinuidad evitable.

Ejemplo 3: Límite de una Función con una Asíntota Vertical

Consideremos la función f(x) = 1/x. Si observamos la gráfica, notamos que a medida que xse acerca a 0 por la derecha (valores positivos), f(x)tiende a infinito positivo ( +∞). A medida que xse acerca a 0 por la izquierda (valores negativos), f(x)tiende a infinito negativo ( -∞). En este caso, el límite de f(x) cuando x tiende a 0 no existe, debido a la asíntota vertical en x = 0.

Ejemplo 4: Límite Lateral

Consideremos la función f(x) = |x|/x. Esta función tiene un valor de 1 para x > 0y -1 para x < 0. Si analizamos el límite lateral por la derecha ( x → 0 ⁺ ), lim _{x→0 ⁺} |x|/x = 1. Si analizamos el límite lateral por la izquierda ( x → 0 ^- ), lim _{x→0 ^-} |x|/x = -1. Como los límites laterales son diferentes, el límite de f(x) cuando x tiende a 0 no existe.

Tabla Comparativa de Ejemplos

Consultas Habituales sobre Límites

¿Qué significa que un límite no existe? Un límite no existe si los límites laterales son diferentes o si la función tiende a infinito.

¿Cómo se calcula un límite? Existen diferentes técnicas para calcular límites, incluyendo la sustitución directa, la factorización, la racionalización y la regla de L'Hôpital (para límites indeterminados).

¿Cuál es la importancia de los límites en el cálculo? Los límites son fundamentales para definir la continuidad, la derivada y la integral, conceptos esenciales del cálculo.

¿Qué son los límites infinitos? Se dice que un límite es infinito cuando la función crece sin cota a medida que la variable independiente se acerca a un determinado valor.

¿Qué son los límites laterales? Los límites laterales son los límites de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado desde la izquierda o desde la derecha.

Conclusión

El concepto de límite es fundamental en el análisis matemático. Comprender cómo se comportan las funciones a medida que su variable independiente se aproxima a un determinado valor permite analizar la continuidad, la derivabilidad e integrabilidad de las funciones, abriendo la puerta a la comprensión de conceptos más avanzados en cálculo y análisis matemático. El estudio de ejemplos, como los presentados, con sus correspondientes representaciones gráficas, facilita la comprensión intuitiva de este concepto crucial.