Elipse gráfica

La elipse gráfica es una curva plana, cerrada y simétrica, con dos ejes de simetría perpendiculares: el eje mayor y el eje menor. A diferencia de un círculo, una elipse presenta dos puntos focales que definen sus propiedades geométricas y su forma particular. Es fundamental no confundirla con el término “eclipse”, que se refiere a un fenómeno astronómico.

Qué es la elipse gráfica

Desde una perspectiva geométrica, una elipse se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Esta suma constante es igual a la longitud del eje mayor de la elipse. También puede definirse como la sección cónica resultante de la intersección de un cono recto con un plano oblicuo a su eje, siempre que este plano no pase por el vértice del cono.

La elipse gráfica, por lo tanto, es una representación visual de esta figura geométrica. Su estudio abarca sus propiedades, elementos, ecuaciones y métodos de construcción, los cuales abordaremos a continuación.

Cómo se hace la elipse

Existen diversos métodos para dibujar una elipse. A continuación, se detallan algunos de los más comunes:

Método del jardinero

Este método, también conocido como el método de la cuerda y los clavos, se basa directamente en la definición de la elipse como lugar geométrico. Se fijan dos clavos en los puntos que representan los focos de la elipse. Se ata una cuerda a los clavos, cuya longitud es igual a la longitud del eje mayor (2a). Se coloca un lápiz dentro del lazo de la cuerda y se mantiene tensa mientras se hace girar el lápiz alrededor de los clavos. El trazo resultante será una elipse.

Método de los radios vectores

Este método se basa en la propiedad fundamental de la elipse : la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a sus dos focos es constante e igual a 2a. Se seleccionan puntos sobre el eje mayor entre el centro y un foco. Para cada punto, se calcula la distancia a cada foco. Se trazan arcos con centro en cada foco y radio igual a la distancia calculada. La intersección de estos arcos define un punto de la elipse. Repitiendo este proceso para múltiples puntos, se obtiene una serie de puntos que conforman la elipse. La curva se completa luego uniendo los puntos.

Método de la tarjeta

Este método utiliza una tarjeta o regla con marcas específicas para dibujar la elipse. Se basa en la relación entre el eje mayor, el eje menor y la posición de los focos. Se realizan marcas en la tarjeta con estas medidas y se utiliza la tarjeta como dibujar la elipse.

Método de la afinidad

Este método utiliza la transformación afín de una circunferencia para generar una elipse. Se dibujan dos circunferencias concéntricas con diámetros iguales a los ejes mayor y menor de la elipse. Se trazan radios en la circunferencia mayor y se obtienen puntos correspondientes en la circunferencia menor mediante rectas paralelas a los ejes. Estos puntos corresponden a puntos de la elipse, y al unirlos se obtiene la elipse deseada.

Elementos de una elipse

La elipse se caracteriza por varios elementos clave:

• Eje mayor (2a): La mayor distancia entre dos puntos de la elipse.
• Eje menor (2b): La menor distancia entre dos puntos de la elipse.
• Semieje mayor (a): La mitad del eje mayor.
• Semieje menor (b): La mitad del eje menor.
• Focos (F1, F2): Dos puntos fijos cuya suma de distancias a cualquier punto de la elipse es constante.
• Centro (O): El punto medio del segmento que une los focos.
• Distancia focal (2c): La distancia entre los dos focos.
• Excentricidad (ε): Una medida de la forma de la elipse, definida como c/a (0 ≤ ε ≤ 1).
• Directrices: Dos rectas paralelas al eje menor, ubicadas a una distancia d = a/ε del centro.

Ecuaciones de la elipse

La elipse puede representarse mediante diferentes ecuaciones:

Ecuación cartesiana (centro en el origen):

x²/a² + y²/b² = 1

Ecuación cartesiana (centro en (h, k)):

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

Ecuación polar (centro en el origen):

r(θ) = 1 / √(cos²(θ)/a² + sen²(θ)/b²)

Ecuación paramétrica:

x = a cos(α)

y = b sen(α)

donde α es el parámetro que varía de 0 a 2π.

Propiedades de la elipse

La elipse posee varias propiedades geométricas interesantes:

• Reflexión de la luz: Los rayos de luz que inciden sobre la elipse desde un foco se reflejan hacia el otro foco.
• Suma de distancias a los focos: La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante e igual a 2a.
• Relación con la circunferencia: La elipse puede considerarse una circunferencia deformada.
• Áreas iguales: Los radios vectores que unen un punto de la elipse con los focos barren áreas iguales en tiempos iguales (Segunda ley de Kepler).

Aplicaciones de la elipse

La elipse tiene numerosas aplicaciones en diversas áreas:

• Astronomía: Las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses (Leyes de Kepler).
• Arquitectura: El diseño de algunos edificios y estructuras utiliza la forma elíptica.
• Ingeniería: En el diseño de engranajes y mecanismos.
• Óptica: En el diseño de espejos y lentes.
• Acústica: En el diseño de salas de conciertos y auditorios (susurros en las galerías).

Tabla comparativa de métodos para dibujar una elipse

Consultas habituales sobre la elipse gráfica

A continuación, se responden algunas consultas habituales sobre la elipse gráfica :

• ¿Cómo calcular el área de una elipse? El área de una elipse es A = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.
• ¿Cómo calcular el perímetro de una elipse? El cálculo del perímetro de una elipse no tiene una fórmula exacta simple, pero existen aproximaciones utilizando integrales elípticas o fórmulas aproximadas como la de Ramanujan.
• ¿Cuál es la diferencia entre una elipse y una circunferencia? Una circunferencia es un caso especial de elipse donde ambos semiejes son iguales (a = b).
• ¿Qué es la excentricidad de una elipse? La excentricidad mide la forma de la elipse, variando entre 0 (circunferencia) y 1 (elipse muy alargada).

La comprensión de la elipse gráfica, sus propiedades y métodos de construcción, es fundamental en diversas disciplinas. Su aplicación se extiende desde el ámbito de la astronomía hasta la arquitectura, pasando por la ingeniería y el arte.