Elipse: ecuación y representación gráfica

20/10/2015

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La elipse, una sección cónica maravilloso, se define como el conjunto de todos los puntos en un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Comprender su ecuación y su representación gráfica es fundamental en diversos campos, desde la física y la ingeniería hasta el diseño y las artes. En este artículo, exploraremos a fondo la ecuación de la elipse y cómo se relaciona con su gráfica.

Índice
  1. Elementos Clave de la Elipse
  2. Ecuación de la Elipse
    1. Elipse con Eje Mayor Horizontal
    2. Elipse con Eje Mayor Vertical
  3. Representación Gráfica de la Elipse
    1. Ejemplo:
  4. Casos Especiales y Aplicaciones
  5. Consultas Habituales sobre la Elipse
    1. ¿Cómo encontrar el centro de una elipse a partir de su ecuación?
    2. ¿Cómo determinar la orientación del eje mayor de una elipse?
    3. ¿Cómo hallar la excentricidad de una elipse?
  6. Tabla Comparativa: Elipse con Eje Mayor Horizontal vs. Vertical

Elementos Clave de la Elipse

Antes de sumergirnos en la ecuación, revisemos los elementos clave que definen una elipse:

  • Focos (F1, F2): Dos puntos fijos dentro de la elipse.
  • Centro (C): Punto medio del segmento que une los focos.
  • Eje Mayor: El segmento que pasa por los focos y tiene mayor longitud.
  • Eje Menor: El segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro.
  • Vértices: Los puntos donde la elipse intersecta al eje mayor.
  • Covértices: Los puntos donde la elipse intersecta al eje menor.
  • Semieje Mayor (a): La mitad de la longitud del eje mayor.
  • Semieje Menor (b): La mitad de la longitud del eje menor.
  • Distancia Focal (2c): La distancia entre los dos focos.

La relación entre estos elementos se expresa mediante la siguiente ecuación: a² = b² + c²

Ecuación de la Elipse

La ecuación de una elipse depende de la orientación de sus ejes mayor y menor. Existen dos formas principales:

Elipse con Eje Mayor Horizontal

Cuando el eje mayor es horizontal, la ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) es:

elipse grafica y ecuacion - Cuál es la ecuación de esta gráfica de elipse

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1

Donde:

  • (h, k) son las coordenadas del centro de la elipse.
  • a es la longitud del semieje mayor (a > b).
  • b es la longitud del semieje menor.

Elipse con Eje Mayor Vertical

Cuando el eje mayor es vertical, la ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) es:

(x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1

Donde:

  • (h, k) son las coordenadas del centro de la elipse.
  • a es la longitud del semieje mayor (a > b).
  • b es la longitud del semieje menor.

Nota importante: En ambas ecuaciones, 'a' siempre representa la longitud del semieje mayor, independientemente de la orientación.

Representación Gráfica de la Elipse

Para graficar una elipse, se necesitan las coordenadas del centro y las longitudes de los semiejes mayor y menor. Una vez que se tiene esta información, se pueden determinar las coordenadas de los vértices, co-vértices y focos, y trazar la curva suave que forma la elipse.

Ejemplo:

Consideremos la ecuación: x²/9 + y²/25 = 1

En este caso, el centro está en (0, 0). Como 25 > 9, el eje mayor es vertical. Entonces:

  • a = 5 (semieje mayor)
  • b = 3 (semieje menor)
  • c = √(a² - b²) = √(25 - 9) = 4 (distancia focal)

Por lo tanto:

  • Vértices: (0, 5) y (0, -5)
  • Covértices: (3, 0) y (-3, 0)
  • Focos: (0, 4) y (0, -4)

Con estos puntos, podemos trazar la elipse.

Casos Especiales y Aplicaciones

Existen casos especiales de elipses, como la circunferencia (a = b), donde la distancia entre los focos es cero. Las elipses tienen amplias aplicaciones en:

  • Astronomía: Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses.
  • Ingeniería: Diseño de puentes, arcos y otras estructuras.
  • Arquitectura: Diseño de edificios y espacios.
  • Óptica: Propiedades de reflexión de la luz en espejos elípticos.

Consultas Habituales sobre la Elipse

A continuación, se responden algunas consultas habituales sobre la ecuación y la gráfica de la elipse:

¿Cómo encontrar el centro de una elipse a partir de su ecuación?

El centro de una elipse dada por la ecuación (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 o (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1 es el punto (h, k).

¿Cómo determinar la orientación del eje mayor de una elipse?

Si a > b, y la ecuación está en la forma (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1, el eje mayor es horizontal. Si a > b, y la ecuación está en la forma (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1, el eje mayor es vertical.

¿Cómo hallar la excentricidad de una elipse?

La excentricidad (e) de una elipse se calcula como e = c / a, donde c es la distancia focal y a es la longitud del semieje mayor. La excentricidad mide la "achatamiento" de la elipse; cuanto más cerca esté de 0, más se parecerá a un círculo.

Tabla Comparativa: Elipse con Eje Mayor Horizontal vs. Vertical

Característica Eje Mayor Horizontal Eje Mayor Vertical
Ecuación (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1
Semieje Mayor a a
Semieje Menor b b
Vértices (h ± a, k) (h, k ± a)
Covértices (h, k ± b) (h ± b, k)
Focos (h ± c, k) (h, k ± c)

La comprensión de la ecuación de la elipse y su representación gráfica es esencial para abordar diversos problemas en matemáticas, ciencias e ingeniería. La capacidad de identificar los elementos clave, aplicar las ecuaciones canónicas y realizar la representación gráfica permite una mejor comprensión y aplicación de este concepto fundamental.

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