Función biyectiva: gráfica, ejemplos y propiedades

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en la teoría de conjuntos y funciones, el concepto de función biyectiva es fundamental. Una función biyectiva, también conocida como correspondencia biunívoca o simplemente biyección, es una función que establece una relación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos. Esto significa que cada elemento del conjunto de partida (dominio) se asocia con un único elemento del conjunto de llegada (codominio), y viceversa; ningún elemento del codominio queda sin pareja.

¿Qué es una función biyectiva?

Para comprender completamente qué es una función biyectiva, debemos analizar sus dos propiedades constitutivas: inyectividad y sobreyectividad.

• Inyectividad (o función uno a uno): Una función es inyectiva si a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde, a lo sumo, un elemento del conjunto de partida. En otras palabras, diferentes elementos del dominio tienen imágenes diferentes en el codominio. Gráficamente, una función inyectiva pasa la prueba de la línea horizontal: ninguna línea horizontal interseca la gráfica en más de un punto.
• Sobreyectividad (o función sobre): Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es la imagen de al menos un elemento del conjunto de partida. Es decir, todos los elementos del codominio están "cubiertos" por la función. Gráficamente, una función sobreyectiva tiene su gráfica intersectando con toda línea horizontal.

Una función biyectiva es aquella que cumple con ambas propiedades: inyectividad y sobreyectividad. De manera formal, dada una función f: X → Y, f es biyectiva si para todo y ∈ Y, existe un único x ∈ X tal que f(x) = y.

¿Cómo saber si una función es biyectiva?

Para determinar si una función es biyectiva, debemos verificar si cumple las condiciones de inyectividad y sobreyectividad. Existen varias maneras de hacerlo:

1. Análisis gráfico: Como se mencionó anteriormente, la prueba de la línea horizontal es útil para determinar la inyectividad. Si la gráfica de la función interseca cada línea horizontal a lo sumo en un punto, la función es inyectiva. La sobreyectividad se verifica observando si la gráfica cubre todo el codominio. Si cada línea horizontal interseca la gráfica en al menos un punto, la función es sobreyectiva. Si ambas condiciones se cumplen, la función es biyectiva .
2. Análisis algebraico: Para funciones definidas por fórmulas, podemos usar métodos algebraicos para verificar la inyectividad y sobreyectividad. La inyectividad se comprueba demostrando que si f(x₁) = f(x₂), entonces x₁ = x₂. La sobreyectividad se comprueba mostrando que para todo y en el codominio, existe al menos una x en el dominio tal que f(x) = y.
3. Cardinalidad de los conjuntos: Si el dominio X y el codominio Y son conjuntos finitos, entonces existe una biyección entre X e Y si y solo si ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos (|X| = |Y|). Esto no es suficiente para conjuntos infinitos.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

A continuación, se presentan algunos ejemplos de funciones biyectivas, con sus respectivas gráficas (imaginarias) y explicaciones:

Ejemplo 1: Función Lineal

La función f(x) = ax + b, donde a ≠ 0, es una función biyectiva de ℝ en ℝ. Su gráfica es una línea recta con pendiente a. Es inyectiva porque cada valor de x produce un único valor de y, y es sobreyectiva porque cualquier valor de y puede obtenerse al elegir un valor adecuado de x.

Ejemplo 2: Función Inversa

Si una función f es biyectiva, entonces su función inversa f⁻¹ existe y también es biyectiva. Por ejemplo, la función inversa de f(x) = 2x + 1 es f⁻¹(x) = (x - 1)/Ambas son biyectivas.

Ejemplo 3: Función Exponencial con Dominio y Codominio Restringidos

La función exponencial f(x) = eˣ no es biyectiva de ℝ en ℝ, ya que no es sobreyectiva (no alcanza valores negativos). Sin embargo, si restringimos el codominio a los números reales positivos (ℝ⁺), entonces la función f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = eˣ sí es biyectiva. Su inversa es la función logaritmo natural, ln(x).

Ejemplo 4: Función Radical con Dominio Restringido

La función f(x) = x² no es biyectiva de ℝ en ℝ, ya que no es inyectiva (f(-x) = f(x)). Sin embargo, si restringimos el dominio a los números reales no negativos ([0, ∞)), entonces la función f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² sí es biyectiva. Su inversa es la función raíz cuadrada, √x.

Tabla Comparativa: Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Aplicaciones de las Funciones Biyectivas

Las funciones biyectivas tienen aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas y otras disciplinas. Algunos ejemplos incluyen:

• Criptografía: Las biyecciones se utilizan en algoritmos de cifrado para encriptar y desencriptar información.
• Teoría de grafos: Los emparejamientos perfectos en grafos bipartitos son un ejemplo de biyecciones .
• Teoría de conjuntos: La cardinalidad de conjuntos finitos se define mediante la existencia de una biyección entre ellos.
• Álgebra lineal: Las transformaciones lineales biyectivas son isomorfismos.

Las funciones biyectivas son un concepto esencial en matemáticas que nos permite establecer correspondencias uno a uno entre conjuntos. Su comprensión es crucial para el estudio de diversos temas en álgebra, análisis, topología y otras áreas.