Función compuesta: gráfica y definición

La función compuesta, un concepto fundamental en el cálculo, surge de la combinación de dos o más funciones. En esencia, consiste en aplicar una función a la salida de otra, creando así una nueva función única. Esta idea se formaliza matemáticamente como:

h(x) = f(g(x))

o, utilizando la notación de círculo :

h(x) = (f ∘ g)(x)

Donde h(x)representa la función compuesta, mientras que f(x)y g(x)son las funciones componentes. f(x)se denomina función externa y g(x)función interna.

Formación de Funciones Compuestas: Ejemplos

Para comprender mejor la formación de funciones compuestas, analicemos algunos ejemplos. Consideremos las funciones:

f(x) = 2x

g(x) = x + 2

Para hallar la función compuesta h(x) = f(g(x)), sustituimos g(x)en f(x)siempre que aparezca una x:

h(x) = f(g(x)) = 2g(x) = 2(x + 2) = 2x + 4

Observemos que la composición de nuestras dos funciones originales resulta en una nueva función, h(x) = 2x + 4. La gráfica de esta nueva función representará la función compuesta.

Otro ejemplo:

f(x) = 3x + 2

g(x) = 5x + 4

La función compuesta h(x) = (f ∘ g)(x) se calcula de la siguiente manera:

h(x) = 3g(x) + 2 = 3(5x + 4) + 2 = 15x + 12 + 2 = 15x + 14

Dominio de las Funciones Compuestas

El dominio de una función compuesta es crucial. Para que la función compuesta sea válida, la entrada debe pertenecer al dominio de la función interna, y la salida de la función interna debe estar dentro del dominio de la función externa.

Ejemplo: Si tenemos

f(x) = 1/(x - 2), con dominio {x ∈ ℝ | x ≠ 2}

g(x) = x + 2, con dominio {x ∈ ℝ}

El dominio de f(g(x)) se determina considerando que la salida de g(x)(es decir, x + 2) no puede ser igual a 2:

x + 2 ≠ 2

x ≠ 0

Por lo tanto, el dominio de f(g(x)) es {x ∈ ℝ | x ≠ 0}.

Funciones Compuestas con Fracciones y Raíces

Cuando trabajamos con funciones compuestas que incluyen fracciones o raíces cuadradas, la determinación del dominio requiere un cuidado especial. Consideremos:

g(x) = √x (Dominio: [0, ∞))

f(x) = 1/(x - 2) (Dominio: x ≠ 2)

La función compuesta (f ∘ g)(x) = 1/(√x - 2). Aquí, además de x ≥ 0 (por la raíz cuadrada), debemos asegurar que el denominador no sea cero: √x - 2 ≠ 0, lo que implica x ≠ Por lo tanto, el dominio de (f ∘ g)(x) es [0, 4) ∪ (4, ∞).

Funciones Compuestas con Múltiples Variables

La composición también se aplica a funciones con múltiples variables. Si f(x) = √(x + 2) y g(y) = 10y, la función compuesta f(g(y)) = √(10y + 2). El dominio se restringirá a los valores de y que hacen que el radicando sea no negativo (10y + 2 ≥ 0, y ≥ -0.2).

Evaluación de Funciones Compuestas

Evaluar una función compuesta para un valor específico de x es directo: se sustituye el valor de x en la función compuesta y se calcula el resultado. Si f(x) = 5x y g(x) = x + 4, entonces h(x) = (f ∘ g)(x) = 5(x + 4) = 5x + 20. Para x = 3, h(3) = 5(3) + 20 = 35.

Un caso particular es la composición de una función con su inversa: f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x.

Descomposición de Funciones Compuestas

Es posible descomponer una función compleja en funciones más simples. Por ejemplo, la función h(x) = 2x² + 4 puede descomponerse como:

f(x) = 2x

g(x) = x² + 2

De modo que f(g(x)) = 2(x² + 2) = 2x² + 4 = h(x).

Ejercicios de Composición de Funciones

Para afianzar los conceptos, consideremos un cohete con aceleración constante a, masa my velocidad inicial u. Su velocidad en el tiempo tes v(t) = u + at, y su energía cinética es E _k (v) = (1/2)mv². La energía cinética en función del tiempo es la función compuesta E _k (v(t)) = (1/2)m(u + at)².

Otro ejercicio: Si f(x) = 1/(x² + 6x + 9) (Dominio: x ≠ -3) y g(x) = √x (Dominio: x ≥ 0), el dominio de f(g(x)) requiere que √x ≠ -3 (siempre cierto) y que √x esté en el dominio de f(x), es decir, √x ≠ -3, lo que no añade restricciones. Por lo tanto, el dominio de f(g(x)) es [0, ∞).

Función Compuesta en un Gráfico

Para determinar la salida de una función compuesta a partir de sus gráficas, se sigue este procedimiento:

1. Identificar la salida de la función interna (g(x)) en el eje y de su gráfica para el valor de entrada x dado.
2. Utilizar la salida de la función interna como entrada para la función externa (f(x)), ubicándola en el eje x de la gráfica de f(x).
3. Leer la salida correspondiente en el eje y de la gráfica de f(x). Este valor representa la salida de la función compuesta (f(g(x))).

La comprensión de la gráfica de la función compuesta requiere analizar cómo las transformaciones de las funciones componentes afectan a la forma y al comportamiento de la función resultante.

El análisis de la gráfica permite visualizar la relación entre las variables y comprender el comportamiento de la función compuesta en diferentes intervalos de su dominio. La gráfica proporciona información visual sobre el crecimiento, decrecimiento, puntos críticos y comportamiento asintótico de la función compuesta.

Consultas Habituales sobre Funciones Compuestas

A continuación, se responden algunas de las preguntas más frecuentes sobre funciones compuestas:

¿Qué significa f ∘ g?

f ∘ g representa la composición de la función f con la función g. Significa que aplicamos la función g a la variable x y luego aplicamos la función f al resultado de g(x).

¿Cómo se calcula el dominio de una función compuesta?

El dominio de una función compuesta se determina considerando el dominio de cada función componente y las restricciones impuestas por la composición. Debemos asegurar que la salida de la función interna esté dentro del dominio de la función externa.

¿Cómo se grafica una función compuesta?

La gráfica de una función compuesta se puede obtener aplicando las transformaciones correspondientes a las funciones componentes o utilizando un software de graficación.

¿Cuándo se usa una función compuesta?

Las funciones compuestas se utilizan en diversas áreas, incluyendo el cálculo, la física, la ingeniería y las ciencias económicas, para modelar situaciones en las que una variable depende de otra, y esta a su vez depende de una tercera.

¿Existen diferentes métodos para descomponer una función compuesta?

Sí, puede haber más de un método para descomponer una función compuesta, dependiendo de cómo se quiera representar. La elección del método dependerá del contexto y del objetivo del análisis.

La comprensión de las funciones compuestas, incluyendo su gráfica y dominio, es fundamental para el análisis matemático y la modelación de fenómenos del entorno real.