Función cotangente: gráfica y características

La cotangente, al igual que las otras funciones trigonométricas, presenta un comportamiento periódico y características únicas que la distinguen. En este artículo, exploraremos a fondo la gráfica de la función cotangente y sus propiedades más relevantes, incluyendo sus asíntotas, periodo y comportamiento.

Definición de la Función Cotangente

La función cotangente (cot x o ctg x) se define como la razón entre el coseno y el seno de un ángulo: cot x = cos x / sin x. Es la función recíproca de la tangente, lo que significa que cot x = 1 / tan x. Esta relación es fundamental para comprender su gráfica y comportamiento.

Gráfica de la Función Cotangente

A diferencia de la función tangente, la gráfica de la cotangente presenta asíntotas verticales en los puntos donde el seno del ángulo es cero, es decir, en los múltiplos de π. Esto significa que la función no está definida en estos puntos. La gráfica se extiende infinitamente en ambas direcciones, acercándose a las asíntotas pero nunca tocándolas. Entre dos asíntotas consecutivas, la función cotangente es continua y decreciente.

La gráfica presenta una forma similar a una onda, pero invertida en comparación con la tangente. Mientras la tangente crece entre sus asíntotas, la cotangente decrece. Observa que el valor de la función cotangente oscila entre el infinito positivo y el infinito negativo a medida que se acerca a las asíntotas verticales.

Características Principales de la Función Cotangente

Periodo:

La función cotangente es periódica, con un periodo de π (pi radianes o 180 grados). Esto significa que la gráfica se repite cada π unidades a lo largo del eje x. Este periodo es fundamental para comprender su comportamiento cíclico.

Asíntotas Verticales:

Las asíntotas verticales son una característica crucial de la función cotangente. Estas se producen en los puntos donde la función no está definida, es decir, cuando el denominador (sen x) es igual a cero. Esto ocurre en los múltiplos enteros de π (kπ, donde k es un entero). Las asíntotas verticales se representan en la gráfica como líneas verticales discontinuas.

Dominio y Rango:

El dominio de la función cotangente son todos los números reales, excepto los múltiplos de π. En notación de conjuntos, se representa como: {x ∈ ℝ | x ≠ kπ, k ∈ ℤ}. El rango de la función cotangente es el conjunto de todos los números reales, es decir, (-∞, ∞).

Comportamiento:

La función cotangente es decreciente entre dos asíntotas consecutivas. A medida que x se acerca a una asíntota vertical, el valor absoluto de la función cotangente tiende a infinito. Este comportamiento decreciente y la presencia de asíntotas verticales son distintivos de su gráfica.

Paridad:

La función cotangente es una función impar. Esto significa que cot(-x) = -cot(x). Gráficamente, esto se traduce en una simetría respecto al origen de coordenadas.

Tabla Comparativa: Tangente vs. Cotangente

Consultas Habituales sobre la Función Cotangente

• ¿Cómo se grafica la función cotangente? Se grafica identificando las asíntotas verticales (múltiplos de π), y luego se traza una curva decreciente entre cada par de asíntotas, acercándose a estas sin tocarlas.
• ¿Cuál es el periodo de la cotangente? El periodo de la función cotangente es π.
• ¿Dónde se encuentran las asíntotas verticales de la cotangente? Las asíntotas verticales se encuentran en x = kπ, donde k es cualquier entero.
• ¿Cómo se relaciona la cotangente con la tangente? La cotangente es la función recíproca de la tangente: cot x = 1/tan x.
• ¿La cotangente es una función par o impar? La cotangente es una función impar.

La función cotangente, con su periodo de π, sus asíntotas verticales en los múltiplos de π y su comportamiento decreciente entre asíntotas, presenta un perfil único y distintivo dentro de las funciones trigonométricas. Su comprensión es esencial para el estudio del cálculo, la trigonometría y sus aplicaciones en diversas áreas de la ciencia e ingeniería.