Función lineal: gráfica con fracciones

La representación gráfica de una función lineal es una recta. Cuando la ecuación de la recta involucra fracciones, la representación gráfica puede parecer inicialmente más compleja, pero siguiendo algunos pasos sencillos, se puede realizar de forma eficiente y precisa. En este artículo, exploraremos en detalle cómo graficar una función lineal con fracciones, incluyendo ejemplos y consejos para una mejor comprensión.

Entendiendo la Ecuación de la Recta

La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, donde:

• m representa la pendiente de la recta, que indica la inclinación de la recta.
• b representa la ordenada al origen , que es el punto donde la recta interseca el eje y (es decir, cuando x = 0 ).

Cuando la pendiente mes una fracción, podemos interpretarla como el cambio en ydividido por el cambio en x. Es decir, m = Δy / Δx. Este hecho es fundamental para la representación gráfica.

Pasos para Graficar una Función Lineal con Fracciones

Para graficar una función lineal con fracciones, sigue estos pasos:

1. Identifica la pendiente (m) y la ordenada al origen (b): Escribe la ecuación en la forma y = mx + b . Si la ecuación no está en esta forma, reordénala algebraicamente para que lo esté.
2. Grafica la ordenada al origen (b): Este es el punto donde la recta cruza el eje y . Su coordenada será (0, b).
3. Utiliza la pendiente (m) para encontrar un segundo punto: Recuerda que la pendiente es m = Δy / Δx . Si m es una fracción, el numerador (Δy) representa el desplazamiento vertical y el denominador (Δx) representa el desplazamiento horizontal. Por ejemplo, si m = 2/3 , desde el punto (0, b) te desplazas 2 unidades hacia arriba (Δy = 2) y 3 unidades hacia la derecha (Δx = 3).
4. Si la pendiente es negativa: Si la pendiente es negativa (ej., m = -2/3 ), te desplazas 2 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha.
5. Une los dos puntos: Traza una línea recta que una la ordenada al origen y el segundo punto que has encontrado. Esta línea representa la gráfica de la función lineal.

Ejemplos

Ejemplo 1: y = (2/3)x + 1

En este caso, m = 2/3y b = 1.

1. Graficamos la ordenada al origen (0, 1).
2. Desde (0, 1), nos movemos 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha, encontrando el punto (3, 3).
3. Unimos los puntos (0, 1) y (3, 3) para obtener la gráfica de la recta.

Ejemplo 2: y = -(1/2)x + 3

Aquí, m = -1/2y b = 3.

1. Graficamos la ordenada al origen (0, 3).
2. Desde (0, 3), nos movemos 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la derecha, encontrando el punto (2, 2).
3. Unimos los puntos (0, 3) y (2, 2) para obtener la gráfica de la recta.

Tabla Comparativa de Ejemplos

Consideraciones Adicionales

Fracciones Impropias: Si la pendiente es una fracción impropia (el numerador es mayor que el denominador), el desplazamiento vertical será mayor que el horizontal. Por ejemplo, si m = 5/2, desde un punto de la recta te moverías 5 unidades hacia arriba y 2 unidades a la derecha.

Simplificación de Fracciones: Siempre simplifica la fracción de la pendiente a su mínima expresión antes de graficar. Esto facilitará el proceso.

Utilización de una Regla: Para una mayor precisión, se recomienda utilizar una regla para trazar la línea recta una vez que se hayan encontrado los dos puntos.

Escalas en el gráfico: Ajusta las escalas del eje xe yde manera apropiada para que la gráfica sea clara y fácil de interpretar. Si la pendiente tiene un numerador o denominador grande, puede ser necesario usar escalas diferentes para ambos ejes.

Puntos adicionales: Para mayor certeza en la gráfica, se pueden calcular y graficar puntos adicionales utilizando la ecuación lineal. Basta con seleccionar valores para xy calcular los valores correspondientes para y.

Consultas Habituales

• ¿Cómo graficar una función lineal con pendiente negativa y fraccionaria? El procedimiento es similar al de una pendiente positiva. La diferencia está en que el desplazamiento vertical se realiza hacia abajo en lugar de hacia arriba.
• ¿Qué sucede si la pendiente es un número entero? Un número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1 (ej., 3 = 3/1). En este caso, te desplazas 3 unidades verticalmente por cada 1 unidad horizontal.
• ¿Es posible graficar una función lineal con fracciones utilizando software? Sí, existen muchos programas y aplicaciones (hojas de cálculo, software de graficación, etc.) que pueden graficar funciones lineales con fracciones de forma automática.

Dominar la gráfica de funciones lineales con fracciones es esencial para una sólida comprensión del álgebra y la geometría analítica. Siguiendo los pasos descritos y practicando con ejemplos, podrás graficar cualquier función lineal con confianza y precisión.