Gráfica de distribución acumulada

La gráfica de distribución acumulada, también conocida como función de distribución acumulativa (FDA) o simplemente función de distribución (FD), es una herramienta fundamental en estadística y probabilidad. Representa la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un determinado valor. A diferencia de la función de densidad de probabilidad, que muestra la probabilidad de un valor específico, la FDA muestra la probabilidad acumulada hasta ese punto.

¿Qué es la Distribución de Probabilidad Acumulada?

La distribución de probabilidad acumulada es una función matemática, generalmente denotada como F(x), que asigna a cada valor x de una variable aleatoria la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a x. Es decir, F(x) = P(X ≤ x), donde X es la variable aleatoria.

Esta función es crucial porque proporciona una visión completa de la distribución de probabilidad de la variable. Nos permite responder preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que la variable sea menor que un cierto valor? ¿Cuál es el percentil de un valor dado?

Distribución de Probabilidad vs. Distribución de Probabilidad Acumulada

Es importante distinguir entre la distribución de probabilidad y la distribución de probabilidad acumulada. La primera describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los diferentes valores de la variable. La segunda, la FDA, acumula esas probabilidades, mostrando la probabilidad total hasta un valor dado.

Por ejemplo, imagine una distribución de probabilidad discreta que representa el número de caras obtenidas al lanzar tres monedas. La distribución de probabilidad mostraría la probabilidad de obtener cero, una, dos o tres caras. La FDA, en cambio, mostraría la probabilidad de obtener cero o menos caras, una o menos caras, dos o menos caras, y así sucesivamente.

Cómo Leer una Gráfica de Probabilidad Acumulada

Una gráfica de distribución acumulada se representa en un plano cartesiano. El eje horizontal (x) representa los valores de la variable aleatoria, mientras que el eje vertical (y) representa la probabilidad acumulada, que siempre está entre 0 y

La curva de la FDA es siempre no decreciente, es decir, la probabilidad acumulada nunca disminuye a medida que aumenta el valor de la variable. Empieza en 0 para valores muy pequeños de x y tiende a 1 para valores muy grandes de x.

Interpretando la Gráfica

Para interpretar la gráfica de distribución acumulada, simplemente se busca el valor de x en el eje horizontal y se observa el valor correspondiente en el eje vertical. Este valor vertical representa la probabilidad acumulada hasta x.

Por ejemplo, si la FDA en x = 5 es 0.7, significa que hay un 70% de probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a

Tipos de Distribuciones Acumuladas

Existen diferentes tipos de distribuciones acumuladas, dependiendo de la distribución de probabilidad subyacente. Algunas de las más comunes incluyen:

• Distribución Binomial Acumulada: Se utiliza para modelar el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli independientes (éxito o fracaso).
• Distribución de Poisson Acumulada: Se utiliza para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado.
• Distribución Normal Acumulada: Se utiliza para modelar variables continuas que siguen una distribución normal (campana de Gauss).
• Distribución Exponencial Acumulada: Se utiliza para modelar el tiempo hasta que ocurre un evento.

Aplicaciones de la Gráfica de Distribución Acumulada

La gráfica de distribución acumulada tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, incluyendo:

• Control de Calidad: Para analizar la distribución de las características de un producto y determinar si cumple con los estándares de calidad.
• Finanzas: Para modelar el riesgo y la volatilidad de las inversiones.
• Ingeniería: Para analizar la confiabilidad de los sistemas y predecir la vida útil de los componentes.
• Medicina: Para analizar datos clínicos y evaluar la eficacia de los tratamientos.
• Ciencia de Datos: Para entender la distribución de datos y tomar decisiones basadas en datos.

Ejemplos de Distribuciones Acumuladas

Ejemplo 1: Distribución Binomial Acumulada

Supongamos que lanzamos una moneda cinco veces y queremos saber la probabilidad de obtener tres o menos caras. La distribución binomial acumulada nos permitiría calcular esta probabilidad.

Ejemplo 2: Distribución Normal Acumulada

Supongamos que la altura de los estudiantes en una universidad sigue una distribución normal. La distribución normal acumulada nos permitiría calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga una altura menor a una cierta cantidad.

Ventajas del uso de la Gráfica de Distribución Acumulada

• Visualización intuitiva: Permite visualizar la probabilidad acumulada de forma sencilla e intuitiva.
• Fácil interpretación: La interpretación de la gráfica de distribución acumulada es relativamente sencilla, incluso para aquellos sin formación en estadística.
• Versatilidad: Se puede aplicar a una amplia variedad de distribuciones de probabilidad.
• Análisis de percentiles: Facilita el análisis de percentiles, lo que permite identificar valores atípicos y rangos de valores.

Consultas Habituales sobre la Gráfica de Distribución Acumulada

A continuación, se responden algunas de las preguntas más frecuentes sobre la gráfica de distribución acumulada :

¿Cuál es la diferencia entre la FDA y la función de densidad de probabilidad?

La función de densidad de probabilidad (FDP) muestra la probabilidad de un valor específico, mientras que la FDA muestra la probabilidad acumulada hasta ese valor. La FDP se utiliza para variables continuas, mientras que la FDA se puede utilizar tanto para variables continuas como discretas.

¿Cómo se calcula la FDA?

El cálculo de la FDA depende de la distribución de probabilidad subyacente. Para distribuciones discretas, se suma la probabilidad de cada valor hasta el valor de interés. Para distribuciones continuas, se calcula la integral de la función de densidad de probabilidad hasta el valor de interés.

¿Qué es un percentil y cómo se relaciona con la FDA?

Un percentil es un valor que divide la distribución de datos en cien partes iguales. La FDA permite determinar el percentil de un valor dado, o viceversa.

¿Qué software se puede utilizar para crear gráficas de distribución acumulada?

Existen numerosos programas de software que permiten crear gráficas de distribución acumulada, incluyendo R, Python (con bibliotecas como Matplotlib y Seaborn), Excel, SPSS, entre otros.

Tabla Comparativa de Distribuciones Acumuladas

La gráfica de distribución acumulada es una herramienta poderosa y versátil que ofrece una visión completa de la distribución de probabilidad de una variable. Su comprensión es esencial para el análisis de datos en diversas áreas.