21/03/2021
La distribución t de Student, o simplemente distribución t, es una herramienta fundamental en estadística inferencial, especialmente útil cuando se trabaja con muestras pequeñas. A diferencia de la distribución normal, la distribución t considera la incertidumbre adicional asociada a la estimación de la desviación estándar de la población a partir de una muestra limitada. Este artículo profundiza en sus características, aplicaciones y cómo interpretarla.
Características de la Distribución t
La gráfica de distribución t se caracteriza por:
- Forma de campana simétrica : Similar a la curva normal, pero con colas más pesadas.
- Grados de libertad (gl o df) : Un parámetro que determina la forma de la curva. A mayor número de grados de libertad, más se asemeja a la distribución normal. Los grados de libertad se calculan generalmente como n-1 (tamaño de la muestra menos 1) en pruebas t de una muestra.
- Colas más pesadas que la normal : Esto refleja la mayor incertidumbre al estimar la desviación estándar con muestras pequeñas. Mayor probabilidad de observar valores extremos.
Aplicaciones de la Distribución t
La distribución t es crucial en diversas pruebas estadísticas, incluyendo:
- Pruebas t de una muestra : Compara la media de una muestra con un valor poblacional conocido.
- Pruebas t de dos muestras independientes : Compara las medias de dos grupos independientes.
- Pruebas t de muestras apareadas : Compara las medias de dos grupos relacionados (ej. medidas pre y post-tratamiento en los mismos individuos).
- Construcción de intervalos de confianza : Para estimar un rango de valores probables para la media de la población.
Interpretación de la Gráfica de Distribución t
La gráfica de distribución t muestra la probabilidad de observar diferentes valores de la estadística t. El área bajo la curva representa la probabilidad. Para realizar una prueba de hipótesis:
- Establecer hipótesis nula (H0) y alternativa (H1) : La hipótesis nula suele afirmar que no hay diferencia entre las medias (o que la media de la muestra es igual a un valor específico). La hipótesis alternativa es lo contrario.
- Calcular el estadístico t : Se obtiene a partir de los datos de la muestra y la fórmula específica para la prueba t utilizada.
- Determinar los grados de libertad : Depende del tipo de prueba t y del tamaño de la muestra.
- Encontrar el valor p : Usando la gráfica de distribución t (o una tabla o software estadístico), se encuentra la probabilidad de obtener un estadístico t tan extremo o más extremo que el calculado, asumiendo que la hipótesis nula es cierta. Este valor es el valor p.
- Tomar una decisión : Si el valor p es menor que el nivel de significancia alfa (usualmente 0.05), se rechaza la hipótesis nula; de lo contrario, no se rechaza.
Comparación con la Distribución Normal
| Característica | Distribución Normal | Distribución t |
|---|---|---|
| Forma | Campana simétrica | Campana simétrica, colas más pesadas |
| Grados de libertad | No aplica | Necesario para definir la curva |
| Tamaño de muestra | Mejor para muestras grandes (n > 30) | Mejor para muestras pequeñas |
| Aplicación | Pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianza cuando se conoce la desviación estándar poblacional | Pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianza cuando se desconoce la desviación estándar poblacional |
Ejemplo Práctico: Prueba t de una muestra
Supongamos que un fabricante afirma que sus bombillas duran 1000 horas. Se toma una muestra de 15 bombillas y se mide su duración. La media de la muestra es 980 horas y la desviación estándar de la muestra es 50 horas. Queremos probar si la afirmación del fabricante es correcta.
- H0 : La media de la población es 1000 horas.
- H1 : La media de la población es diferente de 1000 horas.
- Estadístico t calculado : (980 - 1000) / (50 / √15) ≈ -32
- Grados de libertad : 15 - 1 = 14
- Valor p : Consultando una tabla o software estadístico con gl = 14 y un estadístico t de -32 (prueba bilateral), obtenemos un valor p aproximado de 0.03
- Decisión : Como el valor p (0.035) es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para sugerir que la afirmación del fabricante es incorrecta.
Consideraciones Importantes
- Supuesto de normalidad : La distribución t asume que los datos siguen una distribución normal. Si esto no se cumple, se pueden utilizar pruebas no paramétricas.
- Tamaño de la muestra : La precisión de las pruebas t aumenta con el tamaño de la muestra. Con muestras muy grandes, la distribución t se aproxima a la normal.
- Outliers : Los valores atípicos pueden afectar significativamente los resultados de la prueba t.
Consultas Habituales sobre la Distribución t
¿Cuándo debo usar la distribución t en lugar de la distribución normal? Cuando se desconoce la desviación estándar de la población y se trabaja con muestras pequeñas.
¿Qué significa el valor p en una prueba t? El valor p es la probabilidad de obtener los resultados observados (o resultados más extremos) si la hipótesis nula es verdadera.
¿Cómo interpreto los grados de libertad? Los grados de libertad reflejan la cantidad de información independiente disponible para estimar la variabilidad de los datos.
La gráfica de distribución t de Student es una herramienta esencial en estadística inferencial, proporcionando un método robusto para analizar datos de muestras pequeñas y tomar decisiones informadas basadas en evidencia.