Gráfica de funciones racionales: ejercicios resueltos

Las funciones racionales son una parte fundamental del álgebra y el cálculo, encontrando aplicación en diversas áreas como la física, la ingeniería y la economía. Comprender su comportamiento y saber graficarlas es esencial para resolver problemas complejos. Este artículo se centra en proporcionar una información sobre la gráfica de funciones racionales, incluyendo ejercicios resueltos paso a paso para una mejor comprensión.

¿Qué es una Función Racional?

Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinómicas, es decir, f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0. La característica principal que distingue a las funciones racionales es la presencia de asíntotas, que son líneas a las que la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca las toca.

Ejemplos de Funciones Racionales:

• f(x) = (x+2) / (x-1)
• f(x) = (x² - 4) / (x² + 1)
• f(x) = 1 / x
• f(x) = (x³ + 2x) / (x² - x - 6)

Estas funciones presentan diferentes comportamientos según la relación entre el grado del numerador y el denominador.

Operaciones con Funciones Racionales

Las operaciones con funciones racionales son similares a las operaciones con fracciones. Es crucial recordar simplificar las expresiones resultantes para obtener una forma más manejable.

Suma y Resta:

Para sumar o restar funciones racionales, se necesita encontrar un denominador común. Por ejemplo, para sumar f(x) = 1/x + (x+1)/(x-1), se encuentra el denominador común x(x-1), resultando:

f(x) = [(x-1) + x(x+1)] / [x(x-1)] = (x² + 2x - 1) / (x² - x)

Multiplicación:

La multiplicación de funciones racionales se realiza multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo: f(x) = (x+2)/(x-3) (x-3)/(x+1) = (x+2)/(x+1)

División:

La división de funciones racionales se realiza invirtiendo la segunda función y multiplicando. Es importante recordar que el denominador de la segunda función no puede ser cero.

Ejemplo: f(x) = (x+2)/(x-1) / (x+3)/(x-1) = (x+2)/(x+3)

Puntos de Corte de una Función Racional

Para encontrar los puntos de corte de una función racional, se deben determinar los puntos donde la gráfica intersecta los ejes x e y. Estos puntos son importantes para la elaboración de la gráfica.

Corte con el Eje y:

Para encontrar el corte con el eje y, se evalúa la función en x = 0. Si la función está definida en x=0, entonces el punto de corte con el eje y es (0, f(0)).

Corte con el Eje x:

Para encontrar los cortes con el eje x, se resuelve la ecuación f(x) = 0. Esto implica igualar el numerador a cero y resolver para x. Es importante verificar que los valores obtenidos no anulen el denominador.

Asíntotas de una Función Racional

Las asíntotas son líneas a las que la gráfica de una función racional se aproxima indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

Asíntotas Verticales:

Se encuentran en los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero, pero no anulan el numerador. En estos puntos, la función tiende a infinito o menos infinito.

Asíntotas Horizontales:

Se determinan comparando los grados del numerador y el denominador. Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, la asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es la razón de los coeficientes principales. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no hay asíntota horizontal, pero puede haber una asíntota oblicua.

Asíntotas Oblicuas:

Se presentan cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador. Para encontrar la asíntota oblicua, se realiza una división larga del polinomio del numerador entre el polinomio del denominador. El cociente de la división representa la ecuación de la asíntota oblicua.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Graficar la función f(x) = (x+2)/(x-1)

Solución:

1. Cortes con los ejes: Corte con el eje y: f(0) = -Corte con el eje x: x = -
2. Asíntotas: Asíntota vertical: x = Asíntota horizontal: y = 1 (grado numerador = grado denominador).
3. Gráfica: Se trazan las asíntotas y los puntos de corte. Se analizan los intervalos determinados por las asíntotas para determinar el comportamiento de la función.

Ejercicio 2: Graficar la función f(x) = (x² - 4) / (x + 2)

Solución:

1. Simplificación: La función se puede simplificar a f(x) = x - 2 para x ≠ -
2. Cortes con los ejes: Corte con el eje y: f(0) = -Corte con el eje x: x =
3. Asíntotas: Asíntota vertical: x = -2 (porque el factor (x+2) se cancela en la simplificación pero original esta en el denominador). No hay asíntota horizontal.
4. Gráfica: Se traza la recta y = x -2, pero hay un hueco en x = -2, donde la función no está definida.

Ejercicio 3: Graficar la función f(x) = (x²+2x+1)/(x-1)

Solución:

1. Cortes con los ejes: No corta el eje x (el numerador no tiene raíces reales). Corte con el eje y: f(0) = -
2. Asíntotas: Asíntota vertical: x = Asíntota oblicua: y = x+3 (obtenida mediante división larga).
3. Gráfica: Se trazan las asíntotas, el punto de corte con el eje y y se analiza el comportamiento de la función en los intervalos determinados por la asíntota vertical.

Tabla Comparativa de Funciones Racionales

Consultas Habituales

• ¿Cómo se grafica una función racional con una asíntota oblicua? Se traza la asíntota oblicua y se analiza el comportamiento de la función cerca de las asíntotas verticales y en el infinito.
• ¿Qué pasa si el numerador y el denominador tienen un factor común? Se simplifica la función, pero se debe tener en cuenta que la función original no está definida en los valores de x que hacen cero el factor común del denominador. Esto resulta en un hueco en la gráfica.
• ¿Cómo se determina si una función es racional? Una función es racional si se puede expresar como el cociente de dos polinomios.

La gráfica de funciones racionales implica un análisis cuidadoso de los puntos de corte, las asíntotas y el comportamiento de la función en diferentes intervalos. La práctica con ejercicios resueltos es crucial para dominar este tema. Recuerda siempre verificar tus resultados y utilizar herramientas gráficas para visualizar el comportamiento de las funciones.