25/07/2013
Las inecuaciones cuadráticas son desigualdades que involucran una expresión cuadrática. A diferencia de las ecuaciones cuadráticas, que buscan soluciones específicas (valores de x que hacen la ecuación verdadera), las inecuaciones cuadráticas buscan un rango de valores de x que satisfacen la desigualdad. Su representación gráfica proporciona una visualización clara de este rango de soluciones.
Representación gráfica de inecuaciones cuadráticas
Para graficar una inecuación cuadrática, se comienza graficando la ecuación cuadrática asociada. Es decir, si la inecuación es ax² + bx + c > 0, primero se grafica la parábola y = ax² + bx + c. La parábola divide el plano en dos regiones: una por encima y otra por debajo de la curva.
La solución de la inecuación dependerá del signo de la desigualdad:
- > (mayor que): La solución son los valores de x para los cuales la parábola está por encima del eje x (y > 0).
- < (menor que): La solución son los valores de x para los cuales la parábola está por debajo del eje x (y < 0).
- ≥ (mayor o igual que): La solución incluye los valores de x para los cuales la parábola está por encima o sobre el eje x (y ≥ 0).
- ≤ (menor o igual que): La solución incluye los valores de x para los cuales la parábola está por debajo o sobre el eje x (y ≤ 0).
En la gráfica, la región que representa la solución se suele sombrear. Si la desigualdad incluye el signo igual (≥ o ≤), la parábola se dibuja con una línea continua; si no lo incluye (> o <), se dibuja con una línea punteada para indicar que los puntos sobre la parábola no son parte de la solución.
Pasos para graficar inecuaciones cuadráticas
- Identificar la ecuación cuadrática asociada: Extraer la ecuación cuadrática de la inecuación.
- Encontrar el vértice: El vértice de la parábola se calcula utilizando la fórmula x = -b / 2a . Sustituyendo este valor de x en la ecuación cuadrática se obtiene la coordenada y del vértice.
- Encontrar las intersecciones con el eje x (raíces): Se resuelve la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 . Las soluciones son las intersecciones con el eje x.
- Determinar la concavidad: Si a > 0 , la parábola abre hacia arriba; si a < 0 , abre hacia abajo.
- Graficar la parábola: Utilizando el vértice, las intersecciones con el eje x y la concavidad, se grafica la parábola.
- Sombrear la región solución: Sombrear la región que cumple con la desigualdad. Recuerda usar una línea continua para ≥ o ≤, y una línea punteada para > o <.
Ejemplos de gráficas de inecuaciones cuadráticas
Ejemplo 1: x² - 4 > 0
Ecuación asociada: y = x² - 4
Vértice: x = 0; y = -Vértice: (0, -4)
Intersecciones con el eje x: x² - 4 = 0 => x = ±2
Concavidad: a = 1 > 0 (abre hacia arriba)
La solución son los valores de x tales que la parábola está por encima del eje x. Esto corresponde a x < -2 o x > La gráfica mostraría una parábola que abre hacia arriba, con una línea punteada, y las regiones a la izquierda de -2 y a la derecha de 2 sombreadas.
Ejemplo 2: -x² + 2x + 3 ≤ 0
Ecuación asociada: y = -x² + 2x + 3
Vértice: x = -2 / (2 -1) = 1; y = -1² + 2(1) + 3 = Vértice: (1, 4)
Intersecciones con el eje x: -x² + 2x + 3 = 0 => x = -1 o x = 3
Concavidad: a = -1 < 0 (abre hacia abajo)
La solución son los valores de x tales que la parábola está por debajo o sobre el eje x. Esto corresponde a x ≤ -1 o x ≥ La gráfica mostraría una parábola que abre hacia abajo, con una línea continua, y las regiones a la izquierda de -1 y a la derecha de 3 sombreadas.
Tabla comparativa de inecuaciones y ecuaciones cuadráticas
| Característica | Ecuación Cuadrática | Inecuación Cuadrática |
|---|---|---|
| Solución | Valores específicos de x | Rango de valores de x |
| Representación gráfica | Puntos específicos sobre la parábola | Región del plano sombreada |
| Signo de igualdad | Siempre presente (=) | Puede estar presente (≥, ≤) o ausente (> , <) |
Consultas habituales sobre gráficas de inecuaciones cuadráticas
- ¿Cómo se representa gráficamente una inecuación cuadrática? Graficando la parábola asociada y sombreando la región que satisface la desigualdad.
- ¿Qué significa una línea punteada en la gráfica? Indica que los puntos sobre la parábola no son parte de la solución.
- ¿Qué significa una línea continua en la gráfica? Indica que los puntos sobre la parábola son parte de la solución.
- ¿Cómo se determina la región a sombrear? Analizando el signo de la desigualdad y la posición de la parábola respecto al eje x.
La comprensión de la representación gráfica de las inecuaciones cuadráticas es fundamental para resolver problemas de optimización, análisis de funciones cuadráticas y en diversas aplicaciones de la matemática en otras áreas como la física e ingeniería.