28/03/2017
La trigonometría, un campo matemático con raíces en las antiguas civilizaciones babilónica y egipcia, ha evolucionado hasta convertirse en una herramienta fundamental en diversas disciplinas. Dentro de este campo, la tangente (tg) ocupa un lugar central, representando una razón trigonométrica de gran importancia. Este artículo profundiza en el comportamiento y las propiedades de la gráfica de la tg, investigando sus valores, relaciones con otras razones trigonométricas y aplicaciones.
Valores de la Tg
La tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo. A diferencia del seno y el coseno, cuyo valor está acotado entre -1 y 1, la tg puede tomar cualquier valor real, desde menos infinito (-∞) hasta más infinito (+∞). Esto se debe a que el cateto opuesto puede ser arbitrariamente grande en relación con el cateto adyacente, o viceversa.
La gráfica de la función tangente refleja esta característica. Presenta asíntotas verticales en los puntos donde el coseno del ángulo es cero, es decir, en los múltiplos impares de π/2 (π/2, 3π/2, 5π/2, etc.). En estos puntos, la tg tiende a infinito, ya sea positivo o negativo dependiendo del cuadrante.
Razones Trigonométricas y sus Relaciones
La tangente está íntimamente relacionada con el seno y el coseno a través de la siguiente identidad:
tg α = sen α / cos α
Esta relación es crucial para comprender el comportamiento de la gráfica de la tg. Cuando el coseno es cercano a cero, la tangente tiende a infinito. Cuando el seno es cero, la tangente es cero.
Otras relaciones importantes incluyen:
- 1 + cotg² α = cosec² α
- tg² α + 1 = sec² α
Estas identidades permiten calcular una razón trigonométrica si se conoce otra, facilitando el análisis y la resolución de problemas.
Análisis de la Gráfica de Tg
La gráfica de la función tangente es periódica, con un período de π. Esto significa que la gráfica se repite cada π unidades. Observemos las características clave:
- Asíntotas Verticales: Como se mencionó, la gráfica presenta asíntotas verticales en x = (2n + 1)π/2, donde n es un entero. Estas asíntotas representan los valores donde la función no está definida.
- Puntos de Corte con el Eje X: La gráfica de la tg corta el eje x en los múltiplos de π (0, π, 2π, etc.). En estos puntos, la tangente es igual a cero.
- Crecimiento y Decrecimiento: Entre dos asíntotas consecutivas, la gráfica de la tg es estrictamente creciente. Esto indica que a medida que el ángulo aumenta, la tangente también aumenta.
- Periodicidad: La gráfica se repite cada π unidades, reflejando la naturaleza periódica de la función tangente .
Tabla de Valores
| Ángulo (α) | Sen α | Cos α | Tg α |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | ∞ |
| 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -1/√3 |
| π | 0 | -1 | 0 |
Esta tabla ilustra algunos valores clave de la tangente para ángulos comunes. Observe cómo la tangente aumenta rápidamente a medida que se acerca a las asíntotas.
Dónde es Positiva la Tg
La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes. En el primer cuadrante, tanto el seno como el coseno son positivos, resultando en una tangente positiva. En el tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno son negativos, y su cociente también es positivo. En el segundo y cuarto cuadrantes, la tangente es negativa.
Aplicaciones de la Gráfica de Tg
La gráfica de la tangente tiene amplias aplicaciones en diferentes campos, incluyendo:
- Ingeniería: En el diseño de puentes, edificios y otras estructuras, la tangente se utiliza para calcular pendientes y ángulos.
- Física: En la física, la tangente se utiliza para calcular velocidades y aceleraciones.
- Navegación: En la navegación, la tangente se utiliza para determinar la dirección y la distancia.
- Gráficos por computadora: La función tangente se utiliza en la generación de gráficos y animaciones.
La comprensión de las propiedades de la gráfica de la tg es esencial para resolver problemas en estas y otras áreas.
Consultas Habituales sobre la Gráfica de Tg
Algunas consultas frecuentes sobre la gráfica de la tg incluyen:
- ¿Cómo se dibuja la gráfica de la tangente ?
- ¿Cuáles son las asíntotas de la gráfica de la tg ?
- ¿Cuál es el período de la gráfica de la tangente ?
- ¿En qué cuadrantes es positiva la tangente ?
- ¿Cómo se relaciona la tangente con el seno y el coseno?
Este artículo ha abordado estas preguntas y proporcionado una comprensión más profunda de esta importante función trigonométrica.
La gráfica de la tg es una herramienta poderosa con aplicaciones en diversos campos. Su comprensión requiere un conocimiento sólido de las razones trigonométricas y sus relaciones. La capacidad de interpretar la gráfica de la tg y sus características clave, como sus asíntotas y su periodicidad, resulta fundamental para resolver problemas en matemáticas, física e ingeniería.