Gráfica de una función definida por partes

Las funciones definidas por partes, también conocidas como funciones a trozos, funciones multipartes o funciones por intervalos, son funciones matemáticas cuya definición cambia según el valor de la variable independiente. En otras palabras, la regla que determina la correspondencia entre la variable independiente y la variable dependiente varía a lo largo de diferentes subdominios del dominio de la función. Comprender su representación gráfica es fundamental para analizar su comportamiento y propiedades.

Definición Formal de una Función Definida por Partes

Formalmente, una función real fdefinida por partes de una variable real xse define mediante varios subconjuntos disjuntos de su dominio. Si el dominio Ase puede representar como la unión de conjuntos disjuntos A _i ( A = ∪ _i=1 ⁿ A _i , con A _i ∩ A _j = Øpara todo j ≠ i), y para cada A _i existe una función f _i : A _i → B, entonces fes una función definida por partes si, para todo x ∈ A _i , f(x) = f _i (x), con 1 ≤ i ≤ n.

Esto significa que la función fse comporta de manera diferente en cada uno de los subdominios A _i . La regla de asignación cambia al menos para dos valores de la variable independiente.

Notación e Interpretación

Las funciones definidas por partes se expresan mediante una notación funcional que incluye una lista de expresiones matemáticas asociadas a sus respectivos subdominios. Un ejemplo clásico es la función valor absoluto, |x|, que se define como:

|x| = { -x, si x < 0; x, si x ≥ 0 }

En este caso, el dominio se divide en dos subconjuntos: D ₁ = {x ∈ R : x < 0}y D ₂ = {x ∈ R : x ≥ 0}. Para valores de xmenores que cero, se utiliza la expresión -x, mientras que para valores de xmayores o iguales a cero, se utiliza la expresión x.

Para evaluar una función definida por partes en un punto específico, se debe seleccionar la expresión matemática cuyo subdominio contiene ese punto.

Representando Gráficamente una Función Definida por Partes

La gráfica de una función definida por partes se construye representando gráficamente cada una de las expresiones matemáticas en sus respectivos subdominios. La gráfica resultante mostrará diferentes segmentos o partes, cada una correspondiente a una expresión matemática específica. Es importante indicar claramente los puntos de transición entre los subdominios.

Por ejemplo, la gráfica de la función valor absoluto es una V, con un vértice en (0,0). La rama izquierda corresponde a la expresión -x(para x < 0) y la rama derecha corresponde a la expresión x(para x ≥ 0).

Continuidad de las Funciones Definidas por Partes

Una función definida por partes es continua en un intervalo si cada una de las expresiones que la componen es continua en ese intervalo, y si no hay discontinuidades en los puntos que separan los subdominios. Para verificar la continuidad en estos puntos, se deben calcular los límites laterales y verificar si coinciden con el valor de la función en ese punto. Si los límites laterales coinciden con el valor de la función, entonces la función es continua en ese punto; de lo contrario, hay una discontinuidad.

Existen diferentes tipos de discontinuidades: discontinuidades evitables, discontinuidades de salto y discontinuidades esenciales. La gráfica de una función definida por partes revelará claramente la presencia o ausencia de estas discontinuidades.

Ejemplos de Funciones Definidas por Partes y sus Gráficas

Veamos algunos ejemplos adicionales:

1. Función Escalón Unitario: Esta función se define como u(x) = 0 si x < 0 y u(x) = 1 si x ≥ 0 . Su gráfica es una función discontinua con un salto en x = 0 .
2. Función con diferentes expresiones polinomiales: Una función definida por f(x) = x² si x < 1 , y f(x) = 2x -1 si x ≥ 1 . Su gráfica mostrará una parábola para x < 1 y una recta para x ≥ 1 . La continuidad en x = 1 debe verificarse calculando los límites laterales.
3. Función con expresiones racionales: Una función que utiliza funciones racionales en diferentes subdominios. Aquí es crucial analizar las posibles asíntotas y discontinuidades en cada subdominio.

Aplicaciones de las Funciones Definidas por Partes

Las funciones definidas por partes tienen amplias aplicaciones en diversos campos, incluyendo:

• Ingeniería: Modelado de sistemas que cambian de comportamiento bajo diferentes condiciones.
• Economía: Representación de impuestos progresivos o funciones de oferta y demanda con diferentes intervalos de precios.
• Física: Descripción de fenómenos con diferentes leyes físicas en diferentes regiones del espacio.
• Informática: Implementación de algoritmos y estructuras de datos.

Conclusión

Las funciones definidas por partes son una herramienta matemática poderosa y versátil que permite modelar fenómenos complejos con cambios en su comportamiento. La comprensión de su definición, notación, representación gráfica y análisis de continuidad es esencial para su aplicación en diferentes áreas. El análisis gráfico es clave para identificar discontinuidades y comprender el comportamiento de la función en cada subdominio.