14/12/2011
Las funciones cuadráticas, representadas por la ecuación y = ax² + bx + c (donde a ≠ 0), son un elemento fundamental del álgebra y tienen amplias aplicaciones en diversos campos. Su gráfica, una parábola, presenta características únicas que permiten su análisis y comprensión.
- Objetivos de Aprendizaje
- Graficando Funciones Cuadráticas: Método de Puntos
- Características de la Parábola
- Graficando con Vértice y Eje de Simetría
- Encontrando las Raíces por Factorización
- Ejercicios Resueltos de Grafica de Funciones Cuadráticas
- Consultas Habituales sobre Gráficas de Funciones Cuadráticas
- Tabla Comparativa de Métodos de Graficación
- Resumen
Objetivos de Aprendizaje
- Graficar ecuaciones cuadráticas en el plano cartesiano.
- Identificar las raíces (o ceros) de una ecuación cuadrática.
- Comprender las propiedades de la parábola: vértice, eje de simetría.
Graficando Funciones Cuadráticas: Método de Puntos
Un método básico para graficar una función cuadrática consiste en generar una tabla de valores. Se seleccionan valores para 'x', se sustituyen en la ecuación y se calculan los correspondientes valores de 'y'. Estos pares ordenados (x, y) se grafican en el plano cartesiano. Al unir estos puntos con una curva suave, se obtiene la parábola.
Ejemplo: Para la función y = x², podemos construir la siguiente tabla:
| x | y = x² |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
Al graficar estos puntos y unirlos con una curva suave, se observa la forma característica de la parábola.
Características de la Parábola
La parábola presenta características clave que facilitan su análisis y graficación:
- Vértice: El punto máximo o mínimo de la parábola. Sus coordenadas se pueden calcular con las fórmulas: x v = -b/(2a) e y v = f(x v ).
- Eje de Simetría: Una línea vertical que pasa por el vértice y divide la parábola en dos partes simétricas. Su ecuación es x = x v .
- Concavidad: La parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.
- Raíces (o Intersecciones con el Eje x): Los puntos donde la parábola interseca el eje x. Se obtienen resolviendo la ecuación ax² + bx + c = 0.
Graficando con Vértice y Eje de Simetría
Una vez que se calcula el vértice y se determina el eje de simetría, se pueden encontrar puntos adicionales a ambos lados del eje para completar la gráfica. La simetría de la parábola permite que, al encontrar un punto (x, y), se tenga automáticamente otro punto simétrico (x v- (x - x v), y).
Encontrando las Raíces por Factorización
Las raíces de una ecuación cuadrática representan los puntos donde la gráfica interseca el eje x. Se pueden encontrar factorizando la ecuación cuadrática y aplicando la propiedad del producto cero.
Ejemplo: Para la ecuación x² - x - 6 = 0, factorizando se obtiene (x - 3)(x + 2) = 0, por lo tanto, las raíces son x = 3 y x = -
Ejercicios Resueltos de Grafica de Funciones Cuadráticas
A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos para ilustrar los conceptos anteriores:
Ejercicio 1: Graficar y = 2x² - 4x + 1
Vértice: x v= -(-4) / (22) = 1; y v= 2(1)² - 4(1) + 1 = -El vértice es (1, -1).
Eje de Simetría: x =
Concavidad: Abre hacia arriba (a = 2 > 0).
Puntos adicionales: Se pueden calcular puntos para x = 0, x = 2, etc., y usar la simetría para obtener otros puntos.
Ejercicio 2: Encontrar las raíces de y = x² - 5x + 6
Factorizando la ecuación: (x - 2)(x - 3) = 0. Las raíces son x = 2 y x =
Ejercicio 3: Determinar si la parábola y = -x² + 2x - 1 abre hacia arriba o hacia abajo.
Dado que a = -1 < 0, la parábola abre hacia abajo.
Consultas Habituales sobre Gráficas de Funciones Cuadráticas
- ¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?
- ¿Qué es el eje de simetría de una parábola?
- ¿Cómo se encuentran las raíces de una ecuación cuadrática?
- ¿Cómo afecta el valor de 'a' en la forma de la parábola?
- ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cuadrática?
Tabla Comparativa de Métodos de Graficación
| Método | Ventajas | Desventajas |
|---|---|---|
| Método de puntos | Simple e intuitivo | Requiere muchos puntos para una representación precisa |
| Método del vértice y eje de simetría | Más eficiente, requiere menos puntos | Requiere calcular el vértice |
| Método de factorización (raíces) | Útil para encontrar intersecciones con el eje x | No siempre es posible factorizar |
Resumen
La gráfica de una función cuadrática es una parábola con características definidas como el vértice, el eje de simetría y las raíces. Existen diferentes métodos para graficar estas funciones, cada uno con sus propias ventajas y desventajas. La comprensión de estas características es fundamental para el análisis y la resolución de problemas relacionados con funciones cuadráticas.