29/11/2018
Las inecuaciones son expresiones matemáticas que indican una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que buscan un valor específico que las iguala, las inecuaciones buscan un conjunto de valores que satisfacen la desigualdad. Este conjunto de valores se conoce como conjunto solución, y su representación gráfica es fundamental para comprender la extensión y las características de la solución.
Tipos de Inecuaciones
Existen varios tipos de inecuaciones, dependiendo del símbolo de desigualdad utilizado:
- Inecuaciones lineales: Son inecuaciones donde la variable tiene exponente Ejemplo: 2x + 3 > 5
- Inecuaciones cuadráticas: La variable tiene exponente Ejemplo: x² - 4x + 3 ≤ 0
- Inecuaciones con valor absoluto: Incluyen el valor absoluto de una expresión. Ejemplo: |x - 2| < 3
- Sistemas de inecuaciones: Conjunto de dos o más inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Resolviendo Inecuaciones
La resolución de inecuaciones sigue reglas similares a las ecuaciones, con algunas diferencias cruciales:
- Al sumar o restar un mismo número a ambos miembros de la inecuación, la desigualdad se mantiene.
- Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número positivo, la desigualdad se mantiene.
- Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo, la desigualdad se invierte (cambia de > a <, o viceversa).
Ejemplo de resolución de una inecuación lineal:
Resolver 2x + 3 > 5
- Restar 3 a ambos lados: 2x > 2
- Dividir ambos lados por 2: x > 1
El conjunto solución es el conjunto de todos los números reales mayores que Se denota como (1, ∞).
Ejemplo de resolución de una inecuación cuadrática:
Resolver x² - 4x + 3 ≤ 0
- Factorizar la expresión cuadrática: (x - 1)(x - 3) ≤ 0
- Encontrar las raíces: x = 1 y x = 3
- Analizar el signo de la expresión en los intervalos determinados por las raíces: Para x ≤ 1 y x ≥ 3, la expresión es positiva o cero. Para 1 ≤ x ≤ 3, la expresión es negativa o cero.
El conjunto solución es el intervalo [1, 3].
Representación Gráfica del Conjunto Solución
La representación gráfica del conjunto solución de una inecuación proporciona una visualización clara de los valores que la satisfacen. Para inecuaciones lineales en una variable, se representa en una recta numérica:
Ejemplo: x > 1
Se dibuja una recta numérica, se marca el punto 1, y se sombrea la región a la derecha de 1, indicando que todos los valores mayores que 1 pertenecen al conjunto solución. Se utiliza un círculo abierto en el 1, ya que 1 no está incluido en la solución.
Para inecuaciones lineales con dos variables (ej: 2x + y ≤ 4), la representación gráfica es en un plano cartesiano:
- Graficar la línea asociada: Se grafica la recta 2x + y = Si la inecuación es ≤ o ≥, la línea se dibuja sólida; si es < o >, la línea se dibuja punteada.
- Determinar la región solución: Se elige un punto de prueba (que no esté sobre la línea), se sustituye en la inecuación, y se verifica si la desigualdad se cumple. Si se cumple, la región solución es la que contiene el punto de prueba; si no se cumple, la región solución es la otra.
Ejemplo: 2x + y ≤ 4
Se grafica la recta 2x + y = Se toma el punto (0,0) como punto de prueba: 2(0) + 0 ≤ 4 (cierto). Por lo tanto, la región solución es la que contiene al origen (0,0), es decir, la región por debajo de la línea.
Consultas Habituales sobre Inecuaciones
A continuación, se responden algunas consultas habituales sobre inecuaciones:
¿Qué es una inecuación compuesta?
Una inecuación compuesta es una expresión matemática que combina dos o más inecuaciones usando los conectivos "y" (intersección) o "o" (unión). Por ejemplo: x > 2 y x < 5, o x < 1 o x >
¿Cómo se representa gráficamente una inecuación compuesta?
La representación gráfica de una inecuación compuesta depende del conectivo utilizado. Para "y", se representa la intersección de las regiones solución de cada inecuación. Para "o", se representa la unión de las regiones solución de cada inecuación.
¿Qué diferencia hay entre una inecuación y una ecuación?
Una ecuación establece una igualdad entre dos expresiones algebraicas, mientras que una inecuación establece una desigualdad. Las ecuaciones tienen un conjunto finito de soluciones, mientras que las inecuaciones pueden tener un conjunto infinito de soluciones.
Tabla Comparativa: Ecuaciones vs. Inecuaciones
| Característica | Ecuación | Inecuación |
|---|---|---|
| Símbolo | = | >, <, ≥, ≤ |
| Solución | Un valor o un conjunto finito de valores | Un conjunto infinito de valores |
| Representación gráfica | Punto(s) en la recta numérica o plano cartesiano | Intervalo(s) en la recta numérica o región(es) en el plano cartesiano |
Ejemplos de Resolución y Representación Gráfica
A continuación, se presentan algunos ejemplos adicionales con diferentes tipos de inecuaciones para ilustrar mejor los conceptos explicados. Se incluyen los pasos para la resolución y la descripción detallada de la representación gráfica del conjunto solución.
Ejemplo 1: Inecuación Lineal con Valor Absoluto
Resolver |x - 2| < 3
Esta inecuación se puede resolver considerando dos casos:
Caso 1: x - 2 ≥ 0 => x - 2 < 3 => x < 5
Caso 2: x - 2 < 0 => -(x - 2) < 3 => -x + 2 < 3 => -x < 1 => x > -1
Combinando ambos casos, el conjunto solución es -1 < x < Gráficamente, se representa como un intervalo abierto en la recta numérica, sombreando la zona entre -1 y
Ejemplo 2: Sistema de Inecuaciones Lineales
Resolver el sistema:
x + y ≤ 5
x - y ≥ 1
Se grafican ambas inecuaciones en un plano cartesiano. La región solución es la intersección de las regiones solución de cada inecuación individual. Es importante identificar correctamente la región que satisface ambas desigualdades simultáneamente.
Ejemplo 3: Inecuación Cuadrática
Resolver x² - 5x + 6 > 0
Se factoriza la expresión cuadrática: (x-2)(x-3) > 0
Las raíces son x = 2 y x = La desigualdad es mayor que 0 cuando x < 2 o x > Gráficamente, se representan dos intervalos abiertos en la recta numérica, uno a la izquierda de 2 y otro a la derecha de